Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 49

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 137 >> Следующая


6.1. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

155

Найдем вероятность попадания с. в. X, равномерно распределенной на участке (а, Ь), на любую часть (а, ?) участка (а, Ь) (рис. 6.1.2). Геометрически эта вероятность представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рис. 6.1.2

(6.1.8)

P{a<X<?) = ^.

Функция распределения F(x) для св. X, распределенной равномерно на участке (а, ft), геометрически представляет собой площадь, ограниченную кривой распределения и лежащую левее точки х (рис 6.1.3):

0 при х<.а,

F(x)= (х—а)/(Ь—а) при a<x<b, . (6.1.9)

1 при х>Ъ

График функции распределения дан па рис. 6.1.4.

Рассмотрим несколько типов физических условий, при которых возникает равномерное распределение.

1. Производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями; в качестве приближенного значения измеряемой величины берется: а) ближайшее целое; б) ближайшее меньшее целое и в) ближайшее большее целое. Рассматривается св. X — ошибка измерения. Так как ни одно из значений с. в. ничем не предпочтительнее

па р Ъ

Рис. 6.1.2

f(x)

а Ъ X

Рис. 6.1.4

других, естественно, что с. в. X распределена равномерно: в случае а) па участке (—1/2; 1/2), в случае б) на участке (0; 1), в случае в) на участке (—1; 0) (в качестве 1 берется цена деления).

156 ГЛ. 6. ЙЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Очевидно, такое равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах (в частности, на ЭВМ).

' 2. На оси абсцисс имеется последовательность точек, разделенных строго постоянным интервалом I (рис. 6.1.5).

На ось абсцисс «бросается» случайная точка ®, занимающая то или другое положение безотносительно к

последовательности точек XY J1 21, ml, ... Случай-

і і-HgT^1-ь ® пая величина X — рас-

О I 21 31 Ц-l стояние от случайной точ-Ряс 6.1.5 ки © до ближайшей ле-

вой из точек I, 21, ... ml, очевидно, имеет равномерное распределение на участке (О, I):

Kx)-Ul при 0<х<1 (6.1.10)

(совершенно такое же распределение имеет и расстояние Y до ближайшей правой точки).

3. Вертикально поставленное симметричное колесо радиуса г (рис 6.1.6) приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения. Случайная величина 8 — угол, который после остановки будет составлять с горизонтом / — / фиксированный радиус oa.

Очевидно, величина 0 имеет рав- L номерное распределение на участке (0, 2я).

Такое распределение случайных углов поворота деталей механизмов Рис. 6.1.6 нередко встречается на практике.

4. В современной вычислительной технике при моделировании случайных процессов часто приходится пользоваться случайной величиной X, имеющей равномерное распределение в пределах от 0 до 1:

(0<*<1). (6.1.11)

Эта величипа, которую коротко называют «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом, из которого путем соответствующих преобразований получаются случайные величины с любым заданным распределением (о том, как это делается, будет рассказано в п. 9.2).

Пример 1. Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями, отделенными расстояния-

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

157

ми 10 (см). Округление производится до ближайшего деления; св. X — ошибка измерения. Найти и построить ее п. р. /(я), ее ф. p. F(x), найти ее м.о., дисперсию и с к. о.

Решение. Плотность f(x) показана на рис. 6.1.7, ф.р. FJx)-Ru рис. 6.1.8; mx = 0; Dx = 10712«8,333; 0х = уDx « 2,887. >

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин). Пассажир выходит на платформу в

случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Найти п. p. j(x) случайной величины T — времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее м. о., дисперсию и с. к, о. Найти вероятность того, что ждать придется не больше полминуты.

2 х

Рис 6.1.9

mx+o*x

Рис. 6.1.10

Решение. І{х) = 1/2 (0<s<2) (рис. 6.1.9); Р{Г<т} = 1/4; Я* = 2712 = 1/3; то, =(2 + 0)/2 = 1; ot = УЗ/3. >

Пример 3. С. в. X распределена равномерно на участке (а, 6). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего м. о. больше, чем на За*.

Решение^ Находим а» = (6 — а)/(2УЗ); Зох = 3(6 — — а)/(2УЗ) = УЗ(6 — а)/2. Но при равномерном распределении на участке (а, Ь) крайние точки а и O1 ограничи-

158

ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

вающие участок возможных значений с. в., отстоят от ее м.о. тх = (а + Ь)/2 на расстояние (Ь — а)/2 (рис. 6.1.10), которое меньше, чем УЗ(Ь — л)/2; следовательно, Р{\Х— -тя|>3оя) = 0. >

6.2. Показательное распределение

Говорят, что непрерывная с. в. X имеет показательное (или «экспоненциальное») распределение, если

\Хе"и при я>0,

0 при д: ^ 0

или, короче,

J(X) = Xe-**

(х>0).

(6.2.1)

Положительная величина X называется параметром показательного распределения. График показательного

f{x)=A.e~Xx

F(X)=1-е

Рис. 6.2. і

Рис. 6,2.2

распределения показан на рис. 6.2.1. Его функция распределения:
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed