Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если в Я имеет место теорема о цепях делителей, то она имеет место, в частности, и для отмеченных идеалов, а потому и для идеалов кольца Я'. Упорядочим в пересечении
примерные идеалы так, чтобы элементы из 5 содержались лишь в Ла+1, • • •, (или в ассоциированных простых идеалах Ра+ь •••. IV); тогда эти идеалы при расширении перейдут в единичный идеал кольца Я' и, как в § 120, получится, что
Стоящие в правой части соотношения (2) идеалы ср обладают тем свойством, что И5 = П- Таким образом, идеал л5 — отмеченный. В силу взаимно однозначной связи между отмеченными идеалами и их расширениями из (1) получается следующее представление для расширения идеала:
Сравнение равенств (1) и (3) показывает, что при переходе от Я к Я' строение идеалов становится более бедным. Все те идеалы, которые содержат элементы из 5,—в частности, идеалы цкАг1, ..., ср, — дают в качестве расширения единичный идеал. Лишь отмеченные идеалы а (обладающие свойством а5 = а) остаются при расширении неизменными в том смысле, что из а' можно вновь получить исходный идеал а = п5 как результат сужения.
Задача 1. Если С[ — примерный идеал, а р— ассоциированный с ним простой идеал, то расширение С|' в кольце частных Я' примарно и ассоциированным простым идеалом служит р'.
Задача 2. Если р'—-примерный идеал с ассоциированным простым идеалом р' в кольце Я', то и в произвольном подкольце Я сужение ч = д' (1 ^ примарно с ассоциированным простым идеалом р = р'ПЯ-
Обобщенные кольца частных. Если 5 — мультипликативно замкнутое множество кольца Я, содержащее делители нуля, но не содержащее самого нуля, то, следуя Шевалле, можно определить обобщенное кольцо частных. Пусть и = (0)5 —5-компонента нулевого идеала в Я. Построим сначала факторкольцо Я* =Я[п.
«=[<?!. •••. <Е]
(1)
= [^1................<1л]-
(2)
(3)
452
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
Классы вычетов элементов из S по модулю п составляют мультипликативно замкнутое множество S* кольца R*, не содержащее делителей нуля. Тогда можно построить обычное кольцо частных R*
#' = ?*. Оно и называется обобщенным кольцом частных кольца R
относительно множества S. Свойства этого объекта аналогичны свойствам обычных колец частных. Так, например, можно построить расширение идеала а кольца R] для этого сначала строится образ а* идеала а при гомоморфизме R->R*, а затем берется идеал кольца R', порождаемый идеалом а*. Аналогично строится сужение идеала с' кольца R': сначала берется пересечение с кольцом R*, а потом строится множество элементов, классы вычетов по модулю и которых принадлежат этому пересечению.
Дальнейшие сведения можно найти в книге: Норткотт (Northcott D. G.). Ideal theory.—Cambridge Tracts in Math., 42, section 2.7.
§ 124. Пересечение всех степеней идеала
Пусть в дальнейшем о обозначает нётерово кольцо с единицей. Кольцо называется нуль-примарным, если приыарен нулевой идеал, т. е. если из ab = 0 следует, что а = 0 или Ьг = 0.
В фундаментальной работе В. Крулль1) показал, что в произвольном нуль-примарном кольце с,—в частности, в любом целостном кольце — пересечение всех степеней каждого отличного от о идеала а равно нулю. Для простых идеалов р^=о равно нулю даже пересечение всех символических степеней Из этих теорем оказывается возможным получить ряд утверждений и о произвольных кольцах. Мы изложим здесь основные идеи соответствующей теории.
Теорема 1. Если а и Ь — идеалы в нуль-примарном кольце о и
Ь s at, (1)
то a = о или о = (0).
Доказательство. Пусгъ Ь = (du ..., dn). Тогда из (1) следует, что
di = 2 aihdk. (2)
Как обычно, положим, ?ife = 0 для i = k и 6,4 = 1; тогда вместо
(2) можно записать
'^i(^ik~c^ik)dk = 0. (3)
Определитель этой системы уравнений равен
D = 1 — а,
!) Krull W. Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen,—Sitzungsberichte Heidelberger Akad., 1928, 7. Abh,
§ 124] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВСЕХ СТЕПЕНЕН ИДЕАЛА 453
где а принадлежит идеалу а. Умножим уравнения (3) на миноры элементов &-го столбца определителя П и сложим полученные равенства; получится х)
?Ю* = 0,
а отсюда для каждого элемента й идеала Ь получаем
(1 — а) (1=0(1 = 0.
Это означает, что либо (1 — а)г = 0, либо, если ни одна из степеней элемента (1—о) не равна нулю, й = 0 для всех (I из Ь. В первом случае 1=0(л) и, следовательно, а = о. Во втором же случае Р = (0).
Теорема 2. Если о — нуль-примарное кольцо и аф о, то пересечение всех степеней идеала а равно нулю:
Ь = [а, а2, ...] = (0). (4)
Доказательство. Прежде всего следует доказать включение Ь Для этой цели представим аЬ в виде пересечения примерных идеалов
аЬ==[ч1, ч,].
Для каждого i идеал аЬ делится на ср; следовательно, Ь или некоторая степень ага делится на ср. Но идеал 0 делится на каждую степень а"; следовательно, в обоих случаях Ь Е ср. Так как это включение имеет место для всех I, справедливо равенство Р = аЬ. Согласно теореме 1 отсюда следует, что Ь = (0).
Для простых идеалов р Ф о имеет место более сильное утверждение:
Теорема 3. В любом нуль-примарном кольце пересечение всех символических степеней р(г) отличного от о простого идеала р является нулевым идеалом:
