Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 171

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 247 >> Следующая

111= [Ях, ..., ср]
ш = [сц, ..., ср] (г=г2),
Произведение
с?1^0(ш). <?1 (а2 ... агу
(а2 ... агу° = 0 (ш), (а2 ... агУ° == 0 (рх);
следовательно, так как идеал прост, то
438
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ XV
все ассоциированные простые идеалы различны, так что никакие два или более идеалов в этом представлении не ассоциированы с одним простым идеалом, то представление называется представлением наибольшими примарными идеалами. Эти наибольшие примарные идеалы называются также примарными компонентами идеала т.
Любое неприводимое представление т = [^1, ..., <},.] можно заменить представлением наибольшими примарными идеалами, группируя примарные идеалы, ассоциированные с одним простым идеалом. Тем самым доказана вторая теорема о разложении:
Каждый идеал допускает несократимое представление в виде пересечения конечного множества примарных компонент. Эти примарные компоненты ассоциированы с попарно различными простыми идеалами.
«Вторая теорема о разложении» была доказана для колец многочленов Э. Ласкером, а в общем случае Э. Нётер; этот результат относится к числу важнейших результатов общей теории идеалов. С приложениями теоремы мы познакомимся в основном в главе 16. В ближайших параграфах мы исследуем вопрос о том, как обстоит дело с однозначностью для примарных компонент.
Задача 1. Представить идеал (9, Зх + З) в кольце целочисленных многочленов в виде пересечения его примарных компонент.
Задача 2. Для каждого идеала а существует произведение степеней
простых идеалов •... • 4'^л, кратное идеалу д и такое, что каждое
делит а.
Задача 3. Если кольцо о обладает единицей, то каждый отличный от о идеал а делится по крайней мере на один отличный от с простой идеал.
Задача 4 Идеал (4, 2х, х2) в кольце целочисленных многочленов от одной переменной является примарным, но приводимым. (Разложение: (4, 2х, *») = (4, х) П (2, х«).)
§ 119. Теорема единственности
Разложение идеалов на наибольшие примарные компоненты не является однозначным.
Пример. Идеал
ш = (х2, ху)
в кольце многочленов к [х, у] состоит из многочленов, которые делятся на х и не содержат линейных частей. Множество всех делящихся на х многочленов является простым идеалом
% = (*);
множество всех многочленов, в которых отсутствуют свободные и линейные части, является примарным идеалом
Ь = ху, у2).
§ 119]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
439
Таким образом,
т-[Чь ««]•
Зто — несократимое представление и, так как ассоциированные с Ч! и с]2 простые идеалы (х) и (х, у) различны, то это — представление наибольшими примарными компонентами. Наряду с ним есть еще одно:
«п = [<Ь Чз].
где
Чз = (х2, у)-
Действительно, чтобы многочлен принадлежал идеалу ш, достаточно потребовать, чтобы он делился на х и в нем отсутствовало слагаемое, содержащее х. Когда поле К бесконечно, можно привести бесконечное множество представлений такого сорта:
т = [Ч1. Ч(Л)]. ч(Х) = (х2, у + Хх).
Для всех указанных разложений идеала т общим является одинаковое число примарных компонент и набор ассоциированных простых идеалов:
(х), (х, у).
Это является общим фактом:
Первая теорема единственности. В любых двух несократимых представлениях идеала т наибольшими примарными компонентами количество компонент (но не обязательно сами компоненты) и наборы ассоциированных простых идеалов совпадают.
Доказательство. Для любого примарного идеала утверждение тривиально. Следовательно, мы можем провести индукцию по числу примарных компонент, появляющихся по крайней мере в одном представлении рассматриваемого идеала.
Пусть
т = [41, ..., ч,] = [ч{, •••, Ч/']• (1)
Из всех ассоциированных простых идеалов рх, ..., р/, р(, ..., р? выберем максимальный, т. е. не содержащийся в других. Пусть он входит, скажем, в левую часть и равен рх. Тогда этот идеал входит и в правую часть. Действительно, иначе можно было бы
в (1) построить частные от деления на
[Ч1: Чг> ••?> Ч;: Чг] = [Ч1: Чг, Чг : Чг]»
для всех м>1 имеет место 0 (р%), так как в противном случае было бы рх = 0 (рД, что противоречит максимальности
идеала Рх- Точно так же для всех V имеет место Ях^0(рД. Сле-
довательно, в силу теоремы IV' (§ 117) имеем
ЧУ : чх = Чу (V = 2, ..., I),
Чу 1 Д = Чу ('\, = 1| •••> I )•
440
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
Так как, далее, Я1:Я1 = Р> то
[и, ч2, ..., я7] = [я;, ... ,
Справа стоит идеал т и поэтому слева тоже должен быть идеал т; идеал с можно отбросить. Следовательно,
т = [Яг> .... Я/]-
Это означает, что первое из двух данных представлений (1) при сделанном выше допущении оказывается сократимым, что противоречит условию.
Таким образом, каждый максимальный простой идеал входит в обе части данного равенства.
Пусть теперь, например, /='=/'. Докажем, что 1 = 1' и что (при подходящей нумерации) у(,= р\.. Для идеалов, которые представляются менее чем / примерными компонентами, все можно считать доказанным. Упорядочим идеалы я и я' так, чтобы уд = = р[ был максимальным ассоциированным (с Ят и я!) простым идеалом.
Разделим обе части (1) на произведение ЯНТ
[Я1: Я1Я1. •••> ЯП ЯхЯП = [я!: ЯИь •••< Яг •’ ЯНгЬ
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed