Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
р = a f| Ь, а id р, Ь =з р, то были бы справедливы соотношения
ab = 0 (а П Ь) = 0 (р), а =Ё 0 (у), b =? 0 (р),
что противоречит свойствам простого идеала.
В силу теоремы о цепях делителей, которая имеет место в рассматриваемой ситуации, оказывается выполненной
Первая теорема о разложении. Каждый идеал является пересечением конечного множества неприводимых идеалов.
Доказательство. Для неприводимых идеалов теорема верна. Пусть, таким образом, ш —приводимый идеал:
m = af|b, a id m, b id m.
Если считать доказываемую теорему верной для всех собственных делителей идеала ш, то она будет верна, в частности, для
§ П8]
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ
435
идеалов а и Ь; пусть таким образом,
а = [>ъ У,
&= [ь+1> • • • > У-
Отсюда следует, что
ш = []^, ..., ..., у,
т. е. теорема верна и для идеала т. Так как она справедлива и для единичного идеала (всегда неприводимого), то в силу принципа индукции по делителям теорема верна в общем случае.
От представления с помощью неприводимых идеалов мы перейдем к представлению примарными идеалами.
Каждый неприводимый идеал примарен.
Доказательство. Пусть идеал т не является нримарным. Нужно показать, что ш приводим.
Так как т непримарен, то существуют такие два элемента а, Ь, что
аЬ = 0 (т), а е?ё 0 (т),
6р^0(т) для каждого р.
В силу теоремы о цепях делителей ряд частных идеалов ш : Ь, т:Ь2, ...
должен на каком-то шаге оборваться, т. е. для некоторого ? должно быть выполнено равенство
т : Ьк = ш : Ьш.
Мы утверждаем теперь, что
т = (ш, а)П(т, с№). (1)
Оба идеала в правой части являются делителями идеала т и эти делители собственные, так как первый из них содержит элемент а, а второй — степень Ькп. Мы должны показать, что каждый общий элемент этих двух идеалов обязательно принадлежит т. Любой такой элемент с, являясь элементом идеала (т, оЬк), должен иметь вид
с = т + гЬк\
с другой стороны, как элемент идеала (ш, а), элемент с обладает свойством
с6е=0(ш6, ай) = 0(ш).
Отсюда следует, что
тЬ + гЬ6+1 =- сЬ == 0 (ш), гЬш == 0 (т),
136 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ XV
откуда в силу равенства т : Ьк+1 = т : Ьк получаем
гЬк = 0 (т),
с = т-\-гЬк = 0(т).
Тем самым доказано (1), т. е. идеал т оказался приводимым. Так как каждый идеал представляется пересечением конечного множества неприводимых идеалов, а каждый неприводимый идеал примарен, то:
Каждый идеал представляется в виде пересечения конечного множества примерных идеалов.
Эту теорему можно усилить. Прежде всего, из представления
ш = [%, ..., дг]
можно исключить идеалы ср, которые содержат пересечения остальных. Так получится несократимое представление, т. е. представление, в котором ни одна из составляющих не содержит пересечение остальных. Может оказаться, что в таком представлении некоторые примарные компоненты задают вновь примарный идеал, т. е. пересечение этих примарных компонент вновь примарно. Следующие предложения показывают, когда этот случай имеет место:
1. Пересечение конечного множества примарных идеалов, ассоциированных с одним простым идеалом, является вновь примарным идеалом, ассоциированным с тем же простым идеалом.
2. Несократимое пересечение конечного множества примарных идеалов, не ассоциированных с одним и тем же простым идеалом, не является примарным.
Эти теоремы выполняются независимо от теоремы о цепях делителей.
Доказательство предложения 1. Пусть ш = [д1, ..., (|,],
где с|!, ... , сц ассоциированы с идеалом Мы будем основываться на теореме III (§ 117). Из
аЬ = 0 (т), ацё0 (т)
следует, что
аЬ^= 0 (с|т)
для всех V и
аф 0 (<ц,)
по крайней мере для одного V, а отсюда получается, что Ь = 0(\>). Далее, очевидно, что
ш = 0 (с|Д = О (V).
Наконец, если Ь == 0 (г), то
Ь''у = 0 (оу) для ссех V;
§ 118]
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ
437
следовательно, если р = шах то
Ье == 0 (ср.) для всех V, Ьр = 0 (ш).
Тем самым все свойства, перечисленные в теореме III, налицо. Поэтому идеал ш примарен и р — ассоциированный простой идеал.
Доказательство предложения 2. Пусть дано несо кратимое представление
в котором по крайней мере два ассоциированных простых идеала і\-различны. Мы будем считать с самого начала, что каждая группа примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом и пересекающихся по некоторому примарному идеалу, заменена на это пересечение. Представление при этом останется несократимым.
Среди конечного множества простых идеалов ^ существует минимальный, т. е. такой, который не содержит ни одного из остальных. Пусть таковым является идеал Так как ^ не содержит |'2, ... , р,., то существует такой элемент ах, что
поэтому для достаточно большого р имеет место соотношение
Если бы было = т, то представление ш = [с^, ... , ал] было бы сократимым (можно было бы удалить с|2, ..., ср.). Следовательно, в ср существует элемент со свойством
принадлежит как ^х, так и (|2, ..., ()„ а потому и идеалу т. Но элемент q1 не принадлежит идеалу т. Если бы т был примарным, то это означало бы, что
^ = 0 (рх)
по крайней мере для одного V, что противоречит сказанному ранее. Если в каком-либо несократимом представлении
