Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 173

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 247 >> Следующая

Важным частным случаем является тот, когда выбирается один изолированный идеал р;, а в качестве 5 берется множество элементов кольца о, не делящихся на р;. Это множество непусто, за исключением тривиального случая т = о. Любой другой идеал р, содержит элемент, не делящийся на р#, т. ё. элемент из 5. Тем самым из (2) следует, что
Следовательно, идеал однозначно определяется идеалом ш и множеством 5, т. е. идеалом т и идеалами р*. Изолированные идеалы р* также определяются идеалом т однозначно. В итоге имеем:
Изолированные примарные компоненты qi в (1) определены однозначно.
Задача. Тем же методом доказать вторую теорему единственности: пересечение [<)„, ...] изолированного множества примарных компо-
нент идеала т однозначно определяется заданием ассоциированных простых идеалов ра, р6, ...
Символические степени. В § 117 мы видели, что степени рл простого идеала р не обязаны являться примарными идеалами. Представим р' в виде пересечения примарных компонент:
Т'= [<!!> •••> У;
тогда все ассоциированные простые идеалы рь ..., рА будут делителями идеала рг, а потому и идеала р. Произведение р1-...-р^ таково, что некоторая его степень делится на все q,?, а потому на и, следовательно, на р. Отсюда вытекает, что один из сомножителей, скажем р-,, должен делиться на р. С другой стороны, рх —делитель идеала р, так что рх = р.
Остальные идеалы рг (?=/=!) являются собственными делителями идеала р. Отсюда следует, что % является изолированной примарной компонентой идеала рг и в этом качестве определяется однозначно. Точнее, идеал является изолированной компонентой р? идеала р', определенной множеством 5, где 5—множество элементов кольца о, не делящихся на р.
Однозначно определенная таким способом примарная компонента идеала рг, ассоциированная с простым идеалом рх = р, называется, по предположению Крулля, г-й символической степенью идеала р и обозначается р(/,).
444
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
§ 121. Теория взаимно простых идеалов
В дальнейшем будет предполагаться, что в кольце о существует единица. Эта единица порождает единичный идеал с:
° = (1).
Два идеала а, Ь называются взаимно простыми, если у них нет общих деталей, кроме с, т. е. если их наибольший общий делитель равен о:
(а, Ь) = о.
Это означает, что каждый элемент из о представляется в виде суммы некоторого элемента из а и некоторого элемента из Ь.
Необходимым и достаточным для этого является условие представимости единицы (образующей идеала о) в виде суммы
1 =а + Ь (1)
(а <= а, беб). В этом случае
а==1(Ь), Ь = О (Ь),
а = 0 (a), b = 1 (а). J ^
Если два примарных идеала qlt q2 взаимно просты, то ассоциированные простые идеалы р2 тем более взаимно просты (каждый общий делитель и р2 является общим делителем и идеалов (|i, q2). Однако верно и обратное: из взаимной простоты идеалов pj, р2 следует взаимная простота идеалов qlt q2. В самом деле, из
1 =Pl + p2
при возведении в (р + а — 1)-ю степень следует, что
1 =рР + °-1 + ... + рО + а-1;
выберем р и а настолько большими, чтобы р? лежало в q^ а р" лежало в q2; тогда каждое слагаемое лежит либо в q1( либо в q2 и, следовательно,
1 =<7i + <7*-
Если два идеала взаимно просты, то они являются простыми друг относительно друга.
Доказательство. Пусть (а, Ь) = о и, скажем, a + b = 1. Достаточно показать, что a: bsa. Если х принадлежит a : Ь, то xb s a и xb = 0 (а); следовательно,
х(а + Ь) =0 (а), х-1 =0 (а);
это означает, что х принадлежит а, что и требовалось доказать.
§ 121] ТЕОРИЯ ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ 445
Обращение неверно; вот пример: в кольце многочленов К [х, у] идеалы (х) и (у) просты друг относительно друга, но не взаимно просты:
(-'-I У) Ф1 (х): (у) = (*),
{у) •• (х) = {у)-
Если а и Ь взаимно просты, то, как и в теории чисел, сравнения по модулям этих идеалов можно решать одновременно. Пусть даны два сравнения:
?(1) = 0 (а),
е®_0(б) т *<х>е°М>'
Будем считать, что каждое из сравнений разрешимо. Если | = а — решение первого сравнения, а \ = р — второго, то можно построить элемент Е, удовлетворяющий обоим сравнениям, следующим образом. С помощью построенных ранее элементов а и Ь, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), составим
\ = Ьа-\-а§.
Тогда ? = а(а) и | = Р(Ь), т. е. решение обоих заданных сравнений.
Для двух взаимно простых идеалов наименьшим общим кратным служит их произведение.
Доказательство. В § 116 было доказано, что
аЬ е а Г) 1\
[аП&]-(л, Ь) = аЬ.
Если (а, Ь) = о и существует единица, то второе соотношение упрощается до
а П Ь Е «Ь;
следовательно,
а П Ь =? тК
Чтобы сформулировать эту теорему более чем для двух взаимно простых идеалов, докажем предварительно следующую лемму:
Если идеал а взаимно прост с Ь и с, то а взаимно прост с произведением 1ч и пересечением Ь П с.
Доказательство. Из
а-\-Ь = 1, а' +с = 1
следует, что
(а 4~Ь)(а' с) = 1, аа' -\-ас-\-а'Ь-\-Ьс = \у а" -\-Ьс = 1,
446 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕИ [ГЛ. XV
где а” = аа' + ас -\-а'Ь — вновь некоторый элемент из а. Отсюда следует, что
(а, Ьс) = о
и, тем более,
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed