Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2) примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом, не имеющим делителей;
3) делитель некоторой степени рр простого идеала р, не имеющего делителей.
Далее имеет место предложение:
Пусть идеал т обладает изолированной однократной примар-ной компонентой а, р — ассоциированный простой идеал этой компоненты, а р — ее показатель; тогда для любого целого числа аД; р имеем
Я = (т, р°). (2)
Доказательство. Из
ш = 0 (ч)
р° = 0 (:])
ОДНОКРАТНЫЕ ИДЕАЛЫ
449
следует, ЧТО
(ш, 1>°)®0(Ч). (3)
Пусть, с другой стороны,
т = |>, с\2, ..., ч*]
— некоторое представление идеала ш примарными компонентами. Идеал (ш, р°) однократный, а потому примарный. Ассоциированным простым идеалом служит идеал р. Произведение сщ2 ... I]* делится на (ш, р°). Однако произведение <|2 ... не делится на р, так как, по условию, (\ — изолированная компонента. Следовательно, идеал с| должен делиться на (ш, ра):
4=0(ш, р°). (4)
Из (3) и (4) следует (2).
Следствие. Для
р° = 0 (р) = (т, ра+1);
таким образом,
ра = 0 (т, р0+1). (5)
Для сг<р соотношение (5) не выполняется. Действительно, если бы было
ра = 0(т,
для некоторого а < р, то умножением на рр ° 1 можно было бы получить
рр-1 = 0 (шрр °"1, рр)= 0(т, р) = 0 (р),
что противоречит определению показателя р.
Показатель р идеала р является, таким образом, наименьшим числом а, для которого выполнено соотношение (5).
Существуют целостные кольца о с единицей, в которых (имеет место теорема о цепях делителей и) каждый отличный от нуля простой идеал не имеет делителей. Например, к числу таких колец относятся кольца главных идеалов (ср. § 18), а также определяемые ниже «порядки» в числовых и функциональных полях; типичный пример — кольцо Ъ []/—3]. Теория идеалов этих колец особенно проста. Прежде всего, здесь все примарные идеалы, кроме нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных ненулевых простых идеалов также взаимно просты. Наконец, примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно простых однократных примарных идеалов. Согласно § 121 это
450
ОБЩАЯ ТГОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
пересечение равно произведению
л = ЕЯг» • • ? * Q/-] = 4i • • •
В кольцах главных идеалов примарные идеалы <|г равны степеням простых идеалов. В общем случае это верно при некотором условии, с которым мы познакомимся позже, — условии «целозамкнутости».
§ 123. Кольца частных
В § 13 мы построили поле частных произвольного коммутативного кольца без делителей нуля. Эта конструкция без изменений переносится и на кольца с делителями нуля, если только в кольце есть элементы, не являющиеся делителями нуля. Для этого строится кольцо дробей а/Ь, в которых знаменателями служат всевозможные элементы, не являющиеся делителями нуля, а числителем а может быть любой элемент кольца.
Множество знаменателей можно еще более ограничить. Пусть в коммутативном кольце R задано непустое множество S элементов, не являющихся делителями нуля, которое вместе с двумя любыми своими элементами s и / содержат их произведение st. Тогда дроби a/s (а принадлежит R, a s принадлежит S) образуют
кольцо, содержащее кольцо R: кольцо частных R' = . Это понятие
восходит к Г реллю (Grell H.—Math. Ann., 97, S. 499).
Если R’ — коммутативное кольцо, содержащее R, то каждый идеал а из R порождает некоторый идеал а' в кольце R' — расширение идеала а в кольце R'. Наоборот, пересечение кольца R с любым идеалом с' из R' всегда является идеалом в R — сужением идеала с' в кольце R. Сужения идеалов с П /?' называются также отмеченными идеалами х) кольца R (относительно R').
Общее исследование о расширениях и сужениях идеалов имеется в уже упоминавшейся работе Грелля. Здесь же мы рассмотрим лишь случай колец частных, где связи достаточно просты.
Если а —идеал в R, то расширение а' в кольце частных R' состоит из всевозможных дробей а/s (а принадлежит a, s принадлежит S). Если из идеала а' построить сужение а' П R, то получится в точности S-компонента а$, определенная в § 120, а именно — множество всех х, для которых sx при некотором s из S лежит в а.
Обратно, если исходить из произвольного идеала а' кольца частных R' и построить сужение
а = а' fl R,
то расширением идеала а вновь будет а'. Пересечение этого рас-
>) В оригинале —ausgezeichnete Ideale, —Прим. ш'рев.
§ 123]
КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
451
ширения с Я равно а и в этом случае а5 = а. Наоборот, если а5 = а, то а —сужение некоторого идеала, а именно — идеала а', являющегося его расширением. Отмеченные идеалы а кольца Я характеризуются, следовательно, свойством: а$ = л.
Из сказанного немедленно следует, что между идеалами а' кольца Я' и отмеченными идеалами а кольца Я есть взаимно однозначное соответствие по правилу: а является сужением идеала а', а а' является расширением идеала л. При этом, очевидно, пересечению л'Пс' соответствует пересечение Л("|С.
