Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Любой делитель идеала а, т. е. любой идеал с, содержащий идеал д, определяет некоторое подмногообразие в М. Однако может оказаться, что разные идеалы определяют одно и то же многообразие М. Среди всех таких идеалов один является особенно важным, а именно — множество всех многочленов /, обращающихся в нуль во всех точках многообразия М. Очевидно,
460
ТЕОРИЯ ИДЕ\ЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
это множество является некоторым идеалом т. Идеал т называют соответствующим многообразию М. Многообразием идеала т вновь является само М, так что М определяется с помощью т однозначно (и наоборот).
В кольце о = К[Д1, хп] выполняется теорема о цепях делителей, а потому выполнено условие максимальности (§ 115). Отсюда следует:
Принцип минимальности для многообразий. В каждом непустом множестве многообразий М существует некоторое минимальное многообразие М*, т. е. многообразие, в котором не содержится ни одно другое многообразие данного множества.
Доказательство. Каждое многообразие М имеет свой идеал т и различным многообразиям М соответствуют различные идеалы т. В множестве этих идеалов ш существует максимальный идеал т*, который соответствует некоторому многообразию М*. Многообразие М* и является минимальным в данном множестве.
Если многочлен / принимает во всех точках многообразия М нулевое значение, то говорят, что многочлен / содержит многообразие М (так как и в самом деле многообразие / = 0 содержит многообразие М). Таким образом, идеал т многообразия М состоит из всех многочленов, содержащих М.
Пересечение М П М двух многообразий М и N вновь является многообразием. Действительно, если М состоит из корней идеала а = (/у, ..., !г), а N — из корней идеала Ь = ..., ^Д, то М Л N
состоит из корней идеала
(л, Ь) = (/=!, ..., gl, ..., ?*).
Объединение МДМ многообразий также является многообразием. Действительно, оно определяется пересечением а П Ь (или произведением а-Ь). Прежде всего, каждая точка объединения является корнем всех многочленов из а или корнем всех многочленов из Ь; таким образом, это в любом случае — корень всех многочленов из а П Ь (и, в частности, из а-Ь). Если же какая-либо точка ? не принадлежит объединению М и Ы, то в а существует многочлен /, а в Ь существует многочлен ?, которые не обращаются в нуль в точке но тогда произведение {у, принадлежащее а П1' (и а • Ь), не обращается в ? в нуль, а потому \ не есть корень пересечения а П Ь (или произведения а-Ь). Следовательно, корни пересечения а|"|Ь (как и произведения а-Ь) —это точки объединения М и N и только они.
Начиная с этого места, условимся, как это обычно делается в алгебраической геометрии, о том, что рассматриваемые многообразия не пусты.
Многообразие М, которое можно представить в виде объединения двух (непустых) собственных подмногообразий, называется
§ 126]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
461
составным или приводимым. Если хотят подчеркнуть, что оба подмногообразия определяются уравнениями с коэффициентами из основного поля К, то говорят: многообразие М приводимо над полем К. Многообразие, не являющееся приводимым, называется неприводимым или неразложимым (над основным полем К).
Критерий. Многообразие М является неприводимым над К тогда и только тогда, когда соответствующий идеал прост, т. е. когда из того, что fg содержит М, следует, что / или g содержит М.
Доказательство. Сначала предположим, что М приводимо: М = АДиАД, где АД и М2 —собственные подмногообразия в М. В идеале многообразия АД существует многочлен /, не содержащий М, так как иначе имело бы место включение АД з эМ. Точно так же в идеале многообразия АД существует многочлен g, не содержащий М. Произведение fg содержит АД и АД, а потому и М. Следовательно, идеал многообразия М не является простым.
Теперь предположим, что М неприводимо. Если существует произведение fg, содержащее М, но при этом ни ни g не содержит М, то М можно представить как объединение двух собственных подмногообразий АД и АД, которые определяются следующим образом: АД состоит из всех точек многообразия М, удовлетворяющих уравнению / = 0, а АД состоит из всех точек многообразия М, удовлетворяющих уравнению ? = 0. Каждая точка I многообразия М принадлежит тогда АД или АД, потому что из f{l)g(l) = 0 следует, что /(!) = 0 или ?(?) = 0. Это противоречит предположению о неприводимости многообразия М.
Точно так же доказывается утверждение:
Если неприводимое многообразие М содержится в объединении двух многообразий АД и АД. то М содержится или в АД или в АД.
Соответствующее утверждение имеет место и тогда, когда М содержится в объединении нескольких многообразий АД, ..., АД.
Теорема о разложении. Каждое многообразие М, определенное над полем К, представляется в виде объединения конечного числа неприводимых над К многообразий.
Доказательство. Предположим, что существуют многообразия М, которые не представляются в виде объединения неприводимых многообразий; тогда среди этих М существует минимальное многообразие А1*. Оно должно быть приводимым, а потому представляться в виде объединения двух собственных подмногообразий АД и АД. В силу предположений минимальности многообразия М* подмногообразия АД и АД должны представляться в виде объединения неприводимых многообразий; но тогда таким является и М*, что противоречит предположению. Тем самым доказана теорема о разложении.
