Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тогда, так же как в предыдущем случае, получим
Яу • Я1Я1 = Ят. 1 , п
Яг • Я1Я1 — Яv )
Далее, так как Я1Я1 делится на Я1 и на яь то
Д : Я1Я1 = С Я!: Я1Я1 = С1-
Таким образом,
[Яг. •••. Я/] = [Я2, •••, Яг]-
Так как теперь слева и справа указано несократимое представление наименьшими примерными компонентами, то по предположению индукции имеет место равенство Г — 1=/ — 1, т. е. 1 = 1. Кроме ТОГО, при подходящей нумерации Р\ = Уу ДЛЯ всех У>1. Так как еще Уд = рь то все доказано.
Однозначно определенные в силу только что доказанной теоремы идеалы р'!, ..., р/, которые возникают как ассоциированные простые идеалы в несократимом представлении л = [ях, ..., Яг]> называются простыми идеалами, ассоциированны ни с идеалом а. Вот их важнейшее свойство:
Если идеал а не делится ни на один простой идеал, ассоциированный с идеалом Ь, то Ь: а = Ь; верно и обратное.
Доказательство. Пусть Ь = [Я], ..., Я/] — несократимое представление. Пусть сначала а^Ё0(у,-) для 1 = 1, ..., I, где у,—
§ 120]
ИЗОЛИРОВАННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
441
идеал, ассоциированный с q;. Отсюда следуец что
• Л — q,» b:a = [ql5 q,] : а =
= ^1«, а] =
= [<?i. •••. q/] = Ь.
Обратно, пусть b:a = b. Если бы было а = 0(].';) для некоторого t, скажем, а ^0 (]',•), то это означало бы, что ар 0 (qj), a потому
ap[q2, .... q^^O^q!, а2, ..., q;]) = 0(b)
и, следовательно, в силу того, что каждое сравнение по mod b можно сокращать на а и, стало быть, на ар, имеем
[q2, ..., q,]=0(b),
что противоречит несократимости данного представления.
Важный частный случай: идеал о является главным идеалом (а):
Если элемент а не делится ни на один из простых идеалов, ассоциированных с данным идеалом Ь, то b : а = Ь, т. е. из ас = 0 (Ь) следует, что с = 0(Ь).
Общую теорему можно сформулировать и иным способом, представляя идеал а в виде пересечения примарых идеалов [а(, ... ..., qr]• Идеал а тогда и только тогда делится на уг, когда этим свойством обладает одно из qj, или, что то же самое, одно из р/. Следовательно,
Если ни один из простых идеалов, ассоциированных с а, не делится на простой идеал, ассоциированный с Ь, то b : а = Ь; верно и обратное.
§ 120. Изолированные компоненты и символические степени
Пусть S — непустое множество в коммутативном кольце о, содержащее вместе с двумя любыми своими элементами s, t и их произведение st. Такое множество S называется мультипликативно замкнутым.
Пусть m — идеал в г. Под ms мы подразумеваем множество всех тех элементов х из о, для которых sx лежит в m при каком-то s из S.
Множество nis является идеалом (очевидно, делителем идеала ni); действительно, если хну лежат в ms, то sx и s'y принадлежат m, а потому
ss’ (х — у) — s' (sx) — s (s'y)
442
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
лежит в ш, так что х — у принадлежит т5; если х принадлежит 1115, т0 и гх лежит в 1115. То, что все элементы из ш принадлежат идеалу 1П5, очевидно.
Идеал 1115 называется 8-компонентой идеала 111 или, более подробно, компонентой идеала т, определенной множеством Б.
Начиная с этого места, пусть о — нётерово кольцо. Если идеал т представляется в виде произведения примарных идеалов
*П —= [41. •••> Чг], (1)
то примарные идеалы ср можно подразделить на те, которые пересекаются с 5, т. е. имеют с 5 по крайней мере один общий элемент, и на все остальные. Если имеет с 5 общий элемент 5, то ассоциированный простой идеал р* содержит тот же элемент э. Обратно, если р содержит некоторый элемент я из 5, то су имеет с 5 общий элемент э0 при некотором натуральном р.
Перенумеруем идеалы так, чтобы ..., С[Л не пересекались с 5, а Цн+г, ..., пересекались. Утверждается:
415 = ^1, Чл]- (2)
В случае /г = О соотношение (2) означает попросту, что ш5 = о.
Доказательство. Если х принадлежит идеалу »«5 и, следовательно, вх принадлежит ш, то для 1=^1=^ Я
вх == 0 (<р), 5 0 (р() и, следовательно, х == 0 ^),
т. е. х принадлежит идеалу [ч1( ..., чл]. Обратно, если х принадлежит [([!, ..., чЛ], то в случае г>Я для каждого 1 от Я + 1 до г можно выбрать элемент 5; из 5, который делится на ср. Положим
8 = 5Л+1 ? ? • $г-
В случае г = к выберем я из 5 произвольно. В обоих случаях элемент вх делится на все идеалы ср, т. е. эх принадлежит идеалу ш, а потому х принадлежит идеалу ш5.
Примарная компонента идеала ш называется вложенной, если ассоциированный простой идеал р/ является делителем другого ассоциированного с ш простого идеала р7; в противном случае компонента называется изолированной. В первом случае сам ассоциированный простой идеал р< называется вложенным (а именно — вложенным в идеал р/), а во втором — этот идеал называется изолированным. Аналогично, подмножество {ср,, qй, ...} или {ра, р6, ...} множества всех идеалов соответственно рг, называется изолированным, если ни один из идеалов ра, рь, не является делителем какого-либо р/, не принадлежащего подмножеству.
При заданном идеале ш = ['р1, ..., ч,] каждому мультипликативно замкнутому множеству 5 соответствует некоторое изолиро-
§ 120]
ИЗОЛИРОВАННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
443
ванное подмножество {рх, рА}, состоящее из тех рг, которые не содержат ни одного элемента из 5. Это подмножество изолировано потому, что если р; — идеал этого подмножества, являющийся делителем идеала р/, то и р;- принадлежит подмножеству. Пересечение примарных идеалов, ассоциированных с рх, ..., рл, является в этом случае изолированной компонентой а5.
