Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого построим нормальный ряд
р до р2 до ... до рр = (0).
Факторгруппу р*/р*+1 можно рассматривать как векторное пространство с о/р в качестве области операторов. Так как идеал р максимален, факторкольцо о/р является полем. Так как идеал р* имеет конечный базис, то указанное векторное пространство конечномерно; следовательно, существует конечный композиционный ряд от р* до р*+1. Если для ? = 1, 2, ..., р —1 записать соответствующие композиционные ряды друг за другом от р до (0), то получится требуемое.
Все теоремы Крулля о цепях простых идеалов опираются на следующую основную теорему:
Теорема о главных идеалах. Если (р) фо — главный идеал ир — изолированный простой идеал, соответствующий (Ь), то любая собственная цепь простых идеалов
р до рх до ...
обрывается уже на рг.
Доказательство. Предположим, что существует цепь вида
р=>р!=5ра. (1)
С помощью перехода к кольцу классов вычетов по модулю ра можно сделать р2 равным нулевому идеалу. При этом получится так, что само кольцо не будет содержать делителей нуля. Перейдем к кольцу частных ~, где 5 — множество элементов из о, не
делящихся на р; тогда все не делящиеся на р элементы станут обратимыми, а делящиеся на р идеалы из цепи (1) останутся
§ 125]
ДЛИНА ПРИМАРНОГО ИДЕАЛА
457
различными и простыми. Кольцо частных, которое мы вновь обозначим через о, содержит единицу и не имеет делителей нуля. Так как все простые идеалы, принадлежащие (Ь), переходят, за исключением р, в единичный идеал, то ф) является примарным идеалом для щ Равным образом, все делители идеала ф), кроме о, являются примерными для простого идеала р. При переходе к кольцу частных теория идеалов в о существенно упрощается, что облегчает дальнейшее доказательство.
Обозначим через ^<г), как и раньше, г-ю символическую степень идеала Идеалы цепи
(К11, Ь) =; (К2, Ь) э ...
являются делителями элемента Ь, а потому, в соответствии с отмеченным выше, эти идеалы примарны относительно простого идеала р. Число различных идеалов в этой цепи не может быть больше, чем длина примарного идеала ф)\ поэтому, начиная с некоторого места, идеалы в цепи станут равными:
(рЫ 6) = (рЦ + 1), &) = ...
Пусть теперь тттзв. Докажем сначала, что
К/п) = ф\'^г), р'1т + |>). (2)
Действительно, пусть л: —элемент из р|т). Тогда
х(=фф\ Ь) = ф[т+», Ь),
в силу чего
х = у-\-Ьг, где г/еИ1т + |).
так что
Ьг = х — у = 0 (1><1т)).
По определению, идеал р)'"* является примарным и элемент Ь не делится на соответствующий простой идеал следовательно, элемент г должен делиться на р<т). Отсюда
х = у-\- Ьг = 0 (р™ + 1), Ьр<т)),
чем и доказывается (2).
Согласно теореме 16 (§ 124), из (2) следует включение
Г<пО с= Ш'п + 1)
Г1 — Г 1 ,
так что р<"г) = р<т-Н> для всех т^зя, т. е.
р(М = ^,0+1) = + = _ _ (3)
Кольцо о не имеет делителей нуля. Согласно теореме 3 (§ 124) пересечение символических степеней идеала является нулевым
458 ОБЩАЯ ТГОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
идеалом. Таким образом, из (3) следует
р<‘>=(0). (4)
Однако степень р<5) является примарным идеалом относительно простого идеала рь в то время как (0) является простым идеалом р2 Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь вида (1) невозможна.
С помощью повторного применения теоремы о главных идеалах Крулль доказал следующее обобщение:
Если р — изолированный простой идеал, принадлежащий идеалу т = (Ьъ ..., Ьг), ш Ф о, то любая собственная цепь простых идеалов
р =5 рх Г) р2 =5 ... (5)
обрывается не позднее, чем на рг.
В частности, эта теорема имеет место тогда, когда
т = ч = (?>!, ..., Ьг)
— примарный идеал и р — соответствующий простой идеал. Так
как каждый идеал имеет конечный базис, оказывается спра-
ведливым следующее утверждение:
Каждая собственная цепь простых идеалов (5) обрывается на конечном шаге.
По поводу доказательства и применения результатов к теории локальных колец можно рекомендовать упомянутую выше книгу Норткотта.
Глава шестнадцатая
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
В этой главе общая теория идеалов будет применена к кольцам многочленов с = К[х1, хп], где К — произвольное поле. Кроме общей теории идеалов, будут предполагаться известными главы 1—6 и 10.
§ 126. Алгебраические многообразия
Пусть ?2 — произвольное расширение основного поля Н. Набор из п элементов ...,?„ поля ?2 называется точкой ? аффинного пространства Л„(?2). Точка ? называется корнем многочлена / из кольца ( = Н[1„ ..., х„], если / (1ц ..., 1„) = 0.
Под алгебраическим многообразием М в аффинном пространстве Лп (?2) подразумевается множество всех общих корней некоторого конечного числа многочленов /у, ..., Д, т. е. множество решений уравнений
М?) = о Мб) = о.
Если из многочленов /у ..., /у построить идеал а = ,..
..., /у), то ясно, что общие корни многочленов /у, ..., /, являются корнями всех многочленов
/ = Ыг + - • • + ?>//-
идеала а; таким образом, многообразие М может быть охарактеризовано и как множество общих корней всех многочленов данного идеала или, как мы будем говорить, корней идеала а. То, что в данном случае в идеале а фиксирован конечный базис, не накладывает никаких ограничений на идеал а в силу теоремы Гильберта о базисе (§ 115). Итак: всякое многообразие М состоит из корней некоторого идеала а кольца с = К[хц ..., х„] в аффинном пространстве Л„(?2). Множество М называют многообразием (или многообразием корней) идеала а.
