Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Разбиение на классы
Знак равенства удовлетворяет следующим условиям:
а = а\
из а — Ь следует Ь = а;
из а = Ь и Ь — с следует а = с.
То же самое выражается следующими словами: отношение а — Ь рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если между элементами произвольного множества определено отношение аг^Ь (т. е. для любой пары элементов а, Ь либо имеет место а~й, либо нет), подчиненное аксиомам:
1) а~а,
2) из а~Ь следует Ь^а,
3) из а~ Ь и Ьг^с следует а^с,
то оно называется отношением эквивалентности.
Пример. В области целых чисел назовем два числа эквивалентными, если их разность делится на 2. Очевидно, аксиомы выполняются.
Если задано какое-либо отношение эквивалентности, то мы можем объединить все элементы, эквивалентные данному элементу а, в один класс К а- Элементы в таком классе попарно эквивалентны, так как из а~6иа~св силу аксиом 2) и 3) следует Ь^с. Кроме того, все элементы, эквивалентные какому-либо элементу произвольно фиксированного класса, принадлежат этому классу,
РАЗБИЕНИЕ НА КЛАССЫ
27
так как из а^Ь и Ь^с следует а^с. Таким образом, класс задается каждым своим элементом: если вместо а выбрать другой элемент Ь того же самого класса, то получится, что Ка = Кь-Следовательно, мы можем выбрать каждый элемент Ь в качестве представителя данного класса.
Если же мы начнем построение с такого элемента Ь, который не принадлежит рассматриваемому классу (т. е. не эквивалентен элементу а), то придем к классу Кь, У которого нет общих элементов с классом Ка, в противном случае имели бы с ^ а и с Ь, откуда следовало бы а ^ Ь и Ь е Ка? В этом случае классы Ка и Кь не пересекаются.
Классы эквивалентности целиком покрывают данное множество, потому что каждый элемент а принадлежит некоторому классу, а именно — классу Ка- Таким образом, множество распадается на попарно непересекающиеся классы. В нашем последнем примере это класс четных и класс нечетных чисел.
Как мы видели, Ка = Кь тогда и только тогда, когда а^Ь. Вводя классы эквивалентности вместо элементов, мы можем отношение эквивалентности а^Ь заменить отношением равенства
К„ = КЬ.
Обратно, если задано разбиение множества на попарно непересекающиеся классы, то мы можем положить по определению: а ^ Ь, если а и Ь лежат в одном классе. Очевидно, такое отношение удовлетворяет аксиомам 1), 2), 3).
Глава вторая
ГРУППЫ
Содержание Объяснение основополагающих для всей книги важнейших теоретико-групповых понятий: группы, подгруппы, изоморфизма, гомоморфизма, нормальной подгруппы, факторгруппы.
§ 6. Понятие группы
Определение. Непустое множество © элементов произвольной природы (например, чисел, отображений, преобразований) называется группой, если выполняются четыре следующих условия.
1. Задан закон композиции, который каждой паре элементов а, Ь из © сопоставляет третий элемент этого же множества, называемый, как правило, произведением элементов а и Ь и обозначаемый через аЬ или через а -Ь. (Произведение может зависеть от порядка следования сомножителей: не обязательно аЬ = Ьа.)
2. Закон ассоциативности. Для любых трех элементов а, Ь, с из © имеет место равенство
аЬ -с = а-Ьс.
3. В © существует (левая) единица е, т. е. элемент е, выделяемый следующим свойством:
еа = а для всех а из ©.
4. Для каждого элемента а из © существует (по крайней мере) один (левый) обратный элемент а~1 в @, определяемый свойством:
а~*а = е.
Группа называется абелевой, если, кроме того, оказывается выполненным тождество аЬ = Ъа (закон коммутативности).
Примеры. Если элементами рассматриваемого множества являются числа, а законом композиции служит обычное умножение, то для того, чтобы получить группу, прежде всего следует исключить нуль, потому что у него нет обратного элемента; все рациональные числа, отличные от нуля, уже образуют группу (единичным элементом является число 1). Точно так же образуют группу числа —1 и 1, а также число 1 само по себе.
Аддитивные группы. В определение понятия группы обозначение операции через а-Ь не входит: операцией может служить
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
29
и сложение, например, обычное сложение целых чисел или векторов. В этом случае в аксиомах 1—4 следует всюду вместо «произведение а-Ьъ читать «сумма а-\-Ь». Группа © называется тогда аддитивной группой или модулем. Вместо единичного элемента е здесь фигурирует нулевой элемент 0 со свойством
0 4-а = а для всех а из ©, а вместо обратного элемента а"1 — элемент —а со свойством
—а 4-а = 0.
Обычно предполагают, что сложение — коммутативная операция, т. е.
а-\-Ь = Ь -\-а.
Вместо а-\-(—Ь) пишут кратко а — Ь. В этих обозначениях (а — Ь) -\-Ь = а-\- (— Ь-\-Ь) = а-\-0 = а.
Примеры. Целые числа образуют модуль; четные числа тоже.
Подстановки. Под подстановкой множества М. мы подразумеваем взаимно однозначное отображение этого множества на себя, т. е. сопоставление 5 каждому элементу а из М некоторого образа « (а), причем каждый элемент из М является образом в точности одного элемента а. Элемент в (а) обозначают также через ва. В случае бесконечных множеств М подстановки называют также преобразованиями, но слово «преобразование» в дальнейшем у нас будет использоваться как синоним слова «отображение».
