Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 14

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 247 >> Следующая

Целесообразность такого словоупотребления (в разговорной речи, вероятно, необычного) следует из того, что только при нем высказывание «Из Е следует F» без исключений переводится в «Из не Р следует не Еи.
22
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ I
иначе оно недостаточно.) Тогда свойством Е обладают все числа. Действительно, в противном случае множество чисел, не обладающих свойством Е, было бы непустым и если п — наименьшее число в этом множестве, то получилось бы, что все числа, меньшие п, обладают свойством Е, что противоречит доказанному.
Наряду с «доказательством методом индукции» в обеих ее формах существует «определение (или построение) методом индукции'». Допустим, что мы хотим сопоставить каждому натуральному числу х некоторый новый объект ф(х) и при этом заранее задана «система рекуррентных определяющих соотношений», которые связывают значение ср (п) с предшествующими значениями ф (т) (т <С п). Предполагается, что эти соотношения единственным образом определяют ф (п), как только задаются все ф (т.) при т <; п, которые уже удовлетворяют заданным соотношениям1). Простейший случай состоит в следующем: для т = л+ значение ф (п+) выражается через ф(н), а для т— 1 значение ф(1) задается непосредственно. Примерами служат соотношения (1), (2), соответственно
(6), (7), с помощью которых выше были определены сумма и произведение. Мы утверждаем теперь: при сделанных предположениях существует одна и только одна функция ф (х), значения которой удовлетворяют заданным соотношениям.
Доказательство. Под отрезком (1, п) натурального ряда мы подразумеваем совокупность всех натуральных чисел, не превосходящих п. Прежде всего мы утверждаем: на каждом отрезке (1, п) существует одна и только одна функция ф„(х), определенная на числах х этого отрезка, которая удовлетворяет заданным соотношениям. Это утверждение верно для отрезка (1, 1), а также для любого отрезка (1, гг) при условии, что оно верно для отрезка (1, п), потому что благодаря рекуррентным соотношениям значение ф(1) и значения ф(т) = ф„(т) (т^п) однозначно определяют значение ф (я+). Таким образом, утверждение верно для каждого отрезка (1, п). Мы получаем, следовательно, ряд функций ф„(х). Каждая функция ф„(х) определена на (1, п) и, равным образом, на каждом меньшем отрезке (1, т)\ но там она также удовлетворяет определяющим соотношениям и потому совпадает с функцией (рт (х). Следовательно, любые две функции ф„ (х), Фт(х) совпадают для тех значений х, на которых они одновременно определены.
Искомая же функция ф (х) должна быть определена на всех отрезках (1, п) и вместе с тем удовлетворять определяющим соотношениям, т. е. совпадать с функциями ц>п. Такая функция ф существует и притом только одна: ее значение ф (х) является об-
х) Это предположение включает в себя и допущение, согласно которому <р(1) определяется самими соотношениями, потому что нет чисел, предшествующих единице.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД
23
щим значением всех функций ц>п(х), которые определены для числа х. Тем самым теорема доказана.
Мы очень часто будем пользоваться «построением методом индукции».
Задача 1. Пусть свойство Е имеет место, во-первых, для я = 3, а во-вторых, имея место для числа п :> 3, оно имеет место и для п+1. Доказать, что свойство Е имеет место для всех чисел 3
Присоединяя символы — а (отрицательные целые числа) и О, можно расширить натуральный ряд до области целых чисел. Чтобы было удобнее распространить смысл символов +, •, < на эту область, целесообразно представить целые числа парами натуральных чисел следующим образом:
натуральное число а — парой (а + Ь, Ь), нуль —парой (Ь, Ь),
отрицательное число —а —парой (Ь, а-{-Ь), где всюду Ь — произвольное натуральное число.
Каждое число может быть представлено многими символами (а, Ь), но каждый символ (а, Ь) определяет одно и только одно целое число, а именно:
натуральное число а — Ь, если а>Ь, число 0, если а = 6,
отрицательное число — (Ь — а), если а<Ъ.
Определим:
(а, Ь) + (с, й) = (а + с, Ь + й),
(а, Ь) • (с, сі) = (ас + Ъй, ай + Ьс),
(а, Ь) < (с, й) или (с, й) >(а, Ь), если а-М<&+с.
Без труда проверяется: во-первых, эти определения не зависят от выбора символов в левой части, — нужно лишь, чтобы числа были одни и те же; во-вторых, выполняются правила (3), (4),
(5), (8), (9), (10), (12), (13), (14), а также (15) для с>0; в-третьих, в расширенной области уравнение а-\-х = Ь всегда имеет решение и притом единственное (решение снова будет обозначаться через
Ь — а)\ в-четвертых, аЬ = 0 тогда и только тогда, когда а = 0
или Ь = 0 х).
Задача 2. Провести доказательство.
Задача 3. То же, что в задаче 1, но с заменой часла 3 на число 0.
Из элементарных свойств целых чисел мы привели здесь лишь те, что важны для дальнейшего. По поводу определения дробей, а также свойств делимости целых чисел см. главу 3.
1) По поводу несколько иного введения отрицательных чисел и нулц си Ландау Э. Основы анализа.—М.: ИЛ, 1950, гл. 4-
24
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ. I
§ 4. Конечные и счетные множества
Множество, равномощное с отрезком натурального ряда (т. е. с множеством натуральных чисел, не превосходящих некоторого числа п), называется конечным. Пустое множество также называется конечным.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed