Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ИЗОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ
43
Если, в частности, множества 3)1 и 3)1 совпадают, то мы рассматриваем взаимно однозначное сопоставление элементам а элементов а того же самого множества, сохраняющее соотношения; такое сопоставление называется автоморфизмом.
Автоморфизмы множества до некоторой степени выявляют его свойства симметрии. В самом деле, что означает симметрия, скажем, геометрической фигуры? Она означает, что при известных преобразованиях (отражениях, переносах и т. д.) фигура переходит в себя, при этом заданные соотношения (расстояния, углы, взаимное расположение) сохраняются, или, на нашем языке, фигура допускает автоморфизм относительно своих метрических свойств.
Очевидно, произведение двух автоморфизмов (в смысле произведения преобразований — см. § 6) является автоморфизмом и взятие обратного преобразования по отношению к автоморфизму вновь дает автоморфизм. Отсюда следует в силу § 6, что автоморфизмы произвольного множества (с любыми соотношениями между элементами) образуют группу преобразований — так называемую группу автоморфизмов множества.
В частности, автоморфизмы группы вновь составляют группу. Некоторые из этих автоморфизмов мы рассмотрим подробнее.
Если а —фиксированный элемент группы, то сопоставление элементу х элемента
х — аха-1 (1)
является автоморфизмом, потому что, во-первых, равенство (1) разрешимо относительно х:
х = а^ха,
и, следовательно, отображение взаимно однозначно, а во-вторых, хд = аха 1 • ауаг1 = а(ху)а 1 = ху,
и, следовательно, отображение изоморфно.
Элемент аха1 называют элементом, полученным из х трансформированием с помощью элемента а, а сами элементы х и аха1 называют сопряженными в данной группе. Автоморфизмы группы, порожденные элементами а по правилу xt—^axa-1, называются внутренними. Все остальные автоморфизмы (если они существуют) называются внешними.
При внутреннем автоморфизме х<—*аха1 произвольная подгруппа д переходит в подгруппу а%сг1, которую называют сопряженной с подгруппой д.
Если подгруппа я совпадает со всеми своими сопряженными, т. е.
?'ji x = g для всех а,
(2)
44
ГРУППЫ
1ГЛ п
то это означает не что иное, как ее перестановочность со всеми элементами а:
в.1 = 00,
или что q — нормальная подгруппа (§ 8). Итак,
Инвариантные относительно всех внутренних автоморфизмов подгруппы являются нормальными.
Этой теоремой объясняется использование другого названия для нормальных подгрупп — «инвариантная подгруппа». Требование (2) можно заменить на более слабое:
ада*1 s g. (3)
Но если (3) выполняется для всех а, то оно верно и для а х:
а_1б° — б* (4)
g = ауг1,
а из (3) и (4) следует (2). Таким образом:
Подгруппа является нормальной, если вместе с каждым элементом b она содержит все сопряженные к нему элементы aba~1.
Задача 1. Абелевы группы не имеют внутренних автоморфизмов, отлич-
ных от тождественного.
Задача 2. Доказать, что в группе подстановок элемент abar1, трансформированный из Ь, можно получить так: разложить Ь в произведение циклов (§ 7) и подействовать на символы в этих циклах подстановкой а. С помощью этой теоремы вычислить abort для случая
a = (2 3 4 5),
Ь = ( 1 2) (345).
Задача 3. Доказать, что симметрическая группа ®3 имеет ровно шесть внутренних автоморфизмов. В этом случае группа внутренних автоморфизмов изоморфна самой группе @3.
Задача 4. Симметрическая группа @4 имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы:
а) знакопеременную группу 214;
б) «четверную группу Клейна» ®4, состоящую из подстановок:
(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3).
Последняя группа абелева.
Задача 5. Если д — нормальная подгруппа в группе @ и •?•»-«промежуточная группа»:
9 ? Ф ? ®,
то g — нормальная подгруппа и в .6.
Задача 6. Все бесконечные циклические группы изоморфны аддитивной группе целых чисел
Задача 7. Отношение сопряженности симметрично, рефлексивно и тран-зитивно. Поэтому элементы произвольной группы можно разбить на классы сопряженных элементов.
ГОМОМОРФИЗМЫ, НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
45
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы
Если в двух множествах ЭЛ и Э? определены некоторые соотношения (например, а <; Ь или аЬ=с) и если каждому элементу а из ЭЛ так сопоставлен элемент и = фа из Л, что рее соотношения между элементами в ЭЛ выполняются и для их образов в Л (например, из а <; Ь следует а <. Ь, если рассматривается соотношение <), то ф называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением из ЭЛ в ЭЕ
Например, пусть ЭЛ —- группа и Л — произвольное множество, в котором определены произведения. Если сопоставление таково, что произведению аЬ всегда соответствует произведение аЬ, то отображение ср является гомоморфизмом групп. Примерами могут служить определенные выше (взаимно однозначные) изоморфизмы групп.
Если отображение ф сюръективно, т. е. каждый элемент из Л является образом по крайней мере одного элемента из ЭЛ, то говорят о гомоморфизме из ЭЛ на Л.
Гомоморфное отображение множества ЭЛ в себя называется эндоморфизмом этого множества.
При гомоморфном отображении множества ЭЛ на множество ЭЛ можно объединить в один класс а те элементы из ЭЛ, которые имеют один и тот же образ й в ЭЛ. При этом окажется, что каждый элемент а будет принадлежать одному и только одному классу л, т. е. множество ЭЛ разобьется на классы, которые взаимно однозначно соответствуют элементам множества ЭЛ. Класс а называется также прообразом элемента а.
