Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 21

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 247 >> Следующая

В соответствии со сказанным выше смежные классы образуют разбиение группы © на классы. Каждый элемент принадлежит одному и только одному (смежному) классу *).
!) В литературе можно часто найти обозначение, введенное Галуа:
© — ai8 + a23 + --- >
которое говорит о том, что классы avg попарно не пересекаются и все вместе составляют группу 0. Этого способа записи мы избегаем, потому что оставляем символ + для прямой суммы, которая будет введена позднее,
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСАМИ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
41
Любые два смежных класса равномощны: сопоставление ау>—»-н-*• Ьд определяет взаимно однозначное отображение из ад на Ьд.
За исключением самой подгруппы д, смежные классы не являются группами, потому что группа должна содержать единицу.
Число различных смежных классов группы © по подгруппе д называется индексом подгруппы д в ©. Индекс может быть конечным и бесконечным.
Если N — порядок (конечной) группы ©, п — порядок и / — индекс подгруппы д, то имеет место соотношение:
N = /л; (2)
действительно, © распадается на у классов, состоящих из п элементов 1).
Для конечных групп из равенства (2) можно выразить индекс /:
/ = N/п.
Следствие. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка всей группы.
В частности, если в качестве подгруппы взять циклическую группу, порожденную некоторым элементом с, то отсюда получится:
Порядок элемента конечной группы является делителем порядка всей группы.
Вот непосредственное следствие этого утверждения: в любой группе из п элементов для произвольного элемента а имеет место равенство а'1 = е.
Может оказаться, что все левые смежные классы ад равны правым смежным классам. Если это так, то тот левый смежный класс, который содержит элемент а, должен совпадать с правым смежным классом, содержащим тот же элемент а, т. е. для любого э юмента а должно иметь место равенство комплексов:
ад = да. (3)
Подгруппу д, удовлетворяющую равенствам (3), т.е. перестановочную с любым элементом а из ©, называют нормальной или инвариантной подгруппой группы ©.
Если д — нормальная подгруппа, то произведение двух смежных классов снова является смежным классом:
ад • Ьд = а ? ф • д = аЬдд = а&д.
Задача 1. Найти для подгрупп группы <?3 правые и левые смежные классы. Какие из этих подгрупп являются нормальными?
3 Это соотношение остается верным и тогда, когда N бесконечно; только в этом случае для придания смысла произведению нужно ввести произведения кардинальных чисел, чего мы не сделали,
42
ГРУППЫ
[ГЛ II
Задача 2. Показать, что элементы, обратные к элементам левого смежного класса по произвольной подгруппе, составляют правый смежный класс. Сделать отсюда вывод: индекс подгруппы можно также определить и как число правых смежных классов по ней.
Задача 3. Показать, что каждая подгруппа индекса 2 является нормальной. Пример: знакопеременная группа в симметрической группе на я символах.
Задача 4. Любая подгруппа абелевой группы всегда является нормальной.
Задача 5. Если 0 — циклическая группа, порожденная элементом а, д — ее произвольная подгруппа, отличная от 0, порожденная степенью ат при минимальном т (ср. § 7), то элементы 1, а, а2, ..., ат~х являются представителями смежных классов и число т равно индексу подгруппы д в группе 0.
Задача 6. Если произведение двух любых левых смежных классов группы 0 по подгруппе д снова является левым смежным классом, то д —нормальная подгруппа в 0.
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы
Пусть даны два множества: ЭЛ и ЭЛ, в каждом из которых определены какие-то соотношения между элементами. Например, можно считать, что ЭЛ и ЭЛ — группы, а соотношения в них—это равенства а-Ь = с, выражающие групповое свойство. Или же можно считать, что ЭЛ и ЭЛ — упорядоченные множества, а соотношения — это неравенства а>Ь.
Предположим, что можно установить взаимно однозначное отображение множеств ЭЛ и ЭЛ друг на друга, при котором сохраняются соотношения; это означает, что если элементу а из ЭЛ взаимно однозначно соответствует элемент а из ЭЛ, то соотношения, выполняющиеся для произвольных элементов а, Ь, ... из ЭЛ, выполняются и для элементов а, Ь, ... и наоборот. В этом случае множества ЭЛ и ЭЛ называют изоморфными (относительно данных соотношений) и пишут ЭЛ^ЭЛ. Само отображение называется изоморфизмом.
Таким образом, можно говорить об изоморфных группах, изоморфных упорядоченных или подобных упорядоченных множествах и т. д. Изоморфизм двух групп — это, следовательно, взаимно однозначное отображение а >—*-а, при котором из аЬ = с следует, что аЬ = с (и наоборот), так что произведению аЬ сопоставляется аЪ.
Подобно тому как в общей теории множеств равномощные множества считаются равнозначными, так в теории групп изоморфные группы рассматриваются как несущественно различные. Все понятия и предложения, которые определяются и доказываются на основе соотношений, заданных на некотором множестве, могут быть непосредственно перенесены на любое изоморфное множество. Например, если множество, на котором определено произведение, изоморфно некоторой группе, то оно само является группой; при этом изоморфизме единица, обратные элементы и подгруппы переходят в единицу,, обратные элементы и подгруппы.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed