Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 20

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 247 >> Следующая

.... -2, -1, 0, 1, 2,...
со сложением в качестве композиции образуют бесконечную циклическую группу. Описанные выше группы (г = 1, 2, 3) и St3 являются циклическими группами порядков 2, 3.
Задача 1. Существуют циклические группы подстановок любого порядка. Задача 2. Доказать индукцией по п, что п— 1 транспозиций (1 2), (1 3), ... (1 п) при п> 1 порождают симметрическую группу
Задача 3. Точно так же п — 2 тройных циклов (1 2 3), (1 2 4), ... (1 2 п) при п > 2 порождают знакопеременную группу 91„.
Определим теперь все подгруппы циклической группы. Пусть @ — произвольная циклическая группа с образующей а ид — подгруппа, состоящая не только из единицы. Если д содержит элемент а~т с отрицательным показателем, то и обратный к нему элемент лежит в д. Пусть и"1 —элемент в д с наименьшим положительным показателем. Докажем, что все элементы из д являются степенями элемента ат. Действительно, если as — произвольный элемент из д, то можно вновь считать, что
s = qm-{-r (O^r <т).
Тогда as (am)~g — а?~тд — аг — элемент из g с г Ст. Отсюда следует, что г = 0 в силу выбора числа т и, следовательно, s = qm и as = = (am)g. Таким образом, все элементы подгруппы g являются степенями элемента ат.
Если элемент а имеет конечный порядок п, т. е. ап = е, то элемент ап = е должен лежать в g, а потому число п должно
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСАМИ СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
39
делиться на т: п — цт. Подгруппа д состоит в таком случае из элементов а"1, а2т, , ачт = е и имеет порядок </. Но если а имеет бесконечный порядок, то и группа д, состоящая из элементов, е, а±т, а-ш, ..., имеет бесконечный порядок. Тем самым мы доказали следующее:
Подгруппа циклической группы снова циклическая. Она состоит либо из единицы, либо из степеней элемента ат с наименьшим возможным положительным показателем т. Другими словами, она состоит из т-х степеней элементов исходной группы, При этом для бесконечной циклической группы число т произвольно, в то время как для циклической группы конечного порядка п число т должно быть некоторым делителем числа п. В этом случае подгруппа имеет порядок Я — Для каждого такого числа т существует одна и только одна подгруппа порядка ^ в группе {а}, а именно {ат}.
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы
Под комплексом в теории групп подразумевается произвольное множество элементов группы ©.
Под произведением д?) двух комплексов д и Ь понимается множество всех произведений где ? —элемент из о, а /г —элемент из ?). Если в произведении ф один из комплексов, скажем, д, состоит из единственного элемента g, то вместо д{; пишут просто gЬ).
Очевидно, имеет место равенство
8 №) = ($) '•
Таким образом, в сложных произведениях комплексов мы можем опускать скобки (ср. § 6, (1)).
Если комплекс д является группой, то
99 = 9*
Пусть д и I) — подгруппы группы ®. При каких условиях произведение д?) снова является группой? Совокупностью элементов, обратных к элементам из д(), является Ц, так как обратным к gh служит элемент hr1g~1. Таким образом, если д() —группа, то
*>9 = 9*>. (!)
т. е. д и I) должны быть перестановочными. Но это условие является и достаточным, так как если оно выполнено, то д[) содержит вместе с каждым элементом gh обратный к нему элемент /г1# 1 и вместе с любыми двумя элементами — их произведение, потому что
б?) = 99^ = 9&-
Итак: произведение д() двух подгрупп д и I) некоторой группы ©
40
ГРУППЫ
[ГЛ. II
является группой тогда и только тогда, когда подгруппы 4 и I) перестановочны. При этом, конечно, не требуется, чтобы каждый элемент из g был перестановочен с каждым элементом из I). Если условие перестановочности (1) выполнено, то произведение gl) является подгруппой, порожденной g и I).
В любой абелевой группе равенство (1) выполняется. Если абелева группа записана аддитивно, то g и i) являются подмодулями некоторого модуля и пишут (g, f>) вместо gl), так как обозначение g-И) предназначается для частного случая «прямой суммы» комплексов, о которой речь впереди.
Если g — подгруппа и а — элемент группы ©, то комплекс ад называется левым смежным классом, а комплекс g а —правым смежным классом группы @ по подгруппе д. Если а лежит в д, то ад = д; таким образом, всегда одним из левых (равно как и одним из правых) смежных классов по подгруппе g является сама эта подгруппа.
В дальнейшем будут в основном рассматриваться левые смежные классы, хотя проводимые рассмотрения приводят к тем же выводам и в случае правых смежных классов.
Два смежных класса ag, fcg могут быть равными, даже если а и Ь не равны. Это происходит тогда, когда а~хЬ лежит в g:
b.) == аа~гЬ$ = а (а~Дд) = ад.
Два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы смежные классы ад и Ьд содержали общий элемент, скажем,
agi = bg2, то отсюда следовало бы, что
gigz'^a-'b,
и получилось бы, что агхЬ лежит в д. В силу сказанного выше это означает, что ад и Ьд совпадают.
Каждый элемент а принадлежит некоторому смежному классу, а именно классу ад: этот Kjf&cc содержит элемент ае = а. В силу доказанного выше элемент а принадлежит только одному смежному классу. Поэтому мы можем рассматривать каждый элемент а как представитель содержащего его смежного класса ад.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed