Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
для того чтобы непустое подмножество д данной группы ® было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) множество д содержит вместе с любыми двумя своими элементами и их произведение;
36
ГРУППЫ
ГГЛ. гг
2) множество д содержит вместе с каждым своим элементом а обратный к нему элемент а-1.
Если, в частности, множество д конечно, то второе из этих требований даже излишне, потому что в этом случае требования 3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи выполненным в (3, обязательно выполняется и в д.
Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество д должно вместе с любыми двумя своими элементами а и Ь содержать произведение аЬ~г. Тогда д содержит вместе с а и единицу аа1 = е, и обратный элемент еа~1 = а~1, а потому вместе с а, Ь и элемент Ь~г, и произведение а(Ь-1)~1 = аЬ.
Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с любыми двумя своими элементами а, Ь она содержит а + 6, а вместе с а и элемент—а. Оба эти требования можно объединить в одно: вместе с а и Ь в подгруппе должен лежать элемент а — Ъ.
Примеры подгрупп.
Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную группу ?, состоящую из одного-единственного единичного элемента.
Важнейшей подгруппой симметрической группы всех подстановок п объектов является знакопеременная группа 51„, состоящая из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным Хъ х„, переводят функцию
Д=П (Х1-Хк) (1)
('<к
в себя. Такие подстановки называются четными, а остальные — нечетными. Последние меняют знак у функции А. Каждая транспозиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) является нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свойства следует, что 'Л„ — группа. Так как фиксированная транспозиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково и равно п\/2 (ср. § 6, задача 7).
Для более удобного описания подгрупп симметрической группы используют известное представление подстановок, циклами:
Символом (р <7 г в) обозначается циклическая подстановка, переводящая р в I), I) в г, г в 8 и я в р и оставляющая все остальные объекты неподвижными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок или «циклов»:
([ к1...) (рр...)...,
где любые два цикла не имеют ни одного общего элемента. Сомножители
ПОДГРУППЫ
37
в этом произведении перестановочны Цикл из одного элемента, скажем (1), представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство
(1 254) — (2 54 1) и т. п
С помощью таких символов мы можем следующим образом представить 3! = 6 подстановок группы
(1), (I 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 32).
Все подгруппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме самой группы ®з):
а,. (1), (1 2 3), (1 3 2);
<?(: (1). (2 3); ®;:(1),(13); @':(1), (12);
6: (1).
Пусть а, Ь, ... — произвольные элементы некоторой группы ©; тогда, кроме группы ©, в ней могут быть такие подгруппы, которые содержат элементы а, Ь, ... Пересечение всех этих подгрупп снова является некоторой группой 'Л. Говорят, что а, Ь, ... порождают группу Л. Она обязательно содержит произведения типа а~1а~1ЬаЬ~' (составленные из конечного числа сомножителей с повторениями или без). Такие произведения образуют группу, которая содержит элементы а, Ь, ... и, следовательно, включает в себя группу Л. Поэтому она совпадает с Л. Мы доказали следующее;
Группа, порожденная элементами а, Ь, ..., состоит из всевозможных конечных произведений этих элементов и элементов, обратных к ним.
В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих степеней а-п (включая а° — е). Так как
апат _ ап+т _ атап,
эта группа абелева.
Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется циклической.
Существуют две возможности. Либо все степени ан различны; тогда циклическая группа
..., а~а, а-1, а0, а1, а2, ...
бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что
ал = ак, к > й.
Тогда
ал~* = е (/! — &> 0).
Пусть в этом случае п — наименьший положительный показатель, при котором ап — е. Тогда степени а0, а1, а2, ..., ап~1 различны, потому что иначе
аЛ = а* (0^,/г <п),
38
ГРУППЫ
[Г Л II
а отсюда следовало бы, что
ah-k _ е (о < h — k < ft),
что противоречит выбору числа я.
Если произвольное целое число т представить в виде
m=qn + r (0 sg г < п)
то окажется, что
ат = адп+г = адп ? аг = (ап)9 аг — еаг — аг.
Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии а0, а1, ... ,ап~1. Поэтому циклическая группа содержит в точности п элементов, а именно — элементы
а°, а1, ..., а"-1.
Число п — порядок циклической группы, порожденной элементом а, — называется порядком элемента а. Если все степени
элемента а различны, то а называется элементом бесконечного
порядка.
Примеры. Целые числа
