Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
два курса Э. Нётер по теории групп и алгебр (Гёттинген, зимний семестр 1924/25, зимний семестр 1927/28)*).
Многие новые доказательства и варианты доказательств, встречающиеся в этой книге, даже там, где нет явных ссылок, имеют своим источником упомянутые лекции и семинар.
х) В обработке Э. Нётер эти лекции появились в Math. Zeitschrift, 1929, 30, S. 641—692.
Глава первая
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
Так как в книге используются логические и общематематические понятия, не очень знакомые начинающему математику, то мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основаниями математики, а будем повсюду придерживаться «наивной точки зрения», избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов е, а, ю, и, V и {•••}> а все остальное можно пропустить.
§ 1. Множества
В качестве отправного пункта всех математических рассмотрений мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности, приводит к понятию множества или класса; элементы множества — это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись
а е М
означает: а — элемент множества М. Пользуясь образным геометрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых множеств (называемых иногда множествами второй ступени). Множества второй ступени снова могут служить элементами множеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить новые множества из объектов некоторой заранее очерченной категории (которой новые множества еще не принадлежат).
Если все элементы некоторого множества N являются одновременно элементами множества М, то N называется подмножеством или частью множества М; пишут:
N = М.
18
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ. I
Множество М называется надмножеством или объемлющим множеством множества М; пишут
МэМ.
Из ЛеВ и ВеС следует ЛеС.
Пустое множество содержится в любом множестве.
Если одновременно все элементы из N содержатся в М и все элементы из М содержатся в М, то множества М и N называются равными', пишут
М = Ы.
Равенство означает также одновременное выполнение соотношений
МеД1, Л/еМ.
Иначе: два множества равны, если они содержат одни и те же элементы.
Если Л/еМ, но N не равно М, то N называется собственным подмножеством множества М, г М — собственным надмножеством множества Л/; пишут
Л/сМ, М^Л/.
Запись ЫаМ означает, таким образом, что все элементы из N лежат в М и что, кроме того, в М существует элемент, не лежащий в N.
Пусть теперь А и В — произвольные множества. Множество ?>, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и А, и В, называется пересечением множеств А и В и обозначается через
?> = [Л, В] = ЛПВ.
Множество ?> является подмножеством как в А, так и в В, и любое множество с этим свойством содержится в П.
Множество V, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат по крайней мере одному из множеств Л и В, называется объединением множеств Л и В и обозначается через
у = лив.
Множество V содержит как Л, так и В, и любое множество, обладающее этим свойством, содержит V.
Аналогично определяются пересечение и объединение произвольного множества 2 множеств Л, В, ... Пересечение (т. е. множество элементов, принадлежащих всем множествам Л, В,... множества 2) обозначается через
2?(2)= [Л, В,,..].
ОТОБРАЖЕНИЯ. МОЩНОСТИ
19
Два множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. если оба множества не содержат ни одного общего элемента.
Если множество задается перечнем своих элементов, скажем, множество М состоит из элементов а, Ь, с, то пишут
М = {а, Ь, с}.
Этот способ записи оправдывается тем, что, согласно определению равенства множеств, любое множество определяется заданием его элементов. Определяющее свойство, которое выделяет элементы множества М, состоит в следующем: совпадает ли тот или иной элемент с а, с Ь или с с.
§ 2. Отображения. Мощности
Если каждому элементу а некоторого множества М по ка-кому-нибудь правилу сопоставляется единственный (вообще говоря, новый) объект ф (а), то это сопоставление ср называется функцией. Если все объекты ф (а) принадлежат некоторому множеству N, то сопоставление а >—»- ф (а) называется также отображением из М в N. Элемент ф (а) называется образом элемента а, а а называется прообразом элемента ф (а). Образ ф (а) определяется элементом а однозначно, но а не обязательно однозначно определяется элементом ф (а). Вместо ф (а) иногда пишут кратко фа.
Отображение множества М в множество N называется сюръективным или отображением из М на N, если каждый элемент из N имеет по крайней мере один прообраз.
