Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 13

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 247 >> Следующая

Отображение множества М в множество N называется взаимно однозначным или инъективным, если каждый образ фа обладает ровно одним прообразом а.
Если отображение ср множества М в множество N инъективно и сюръективно, т. е. является взаимно однозначным отображением множества М на множество Л/, то существует обратное отображение ф \ которое каждому элементу Ь множества N сопоставляет тот элемент из М, образом которого является Ь:
Ф-1Ь = а, если фа = Ь.
Говорят, что множества М и N равномощны или имеют одинаковую мощность, если существует взаимно однозначное отображение из М на N.
Пример. Сопоставим каждому числу п число 2л; тогда получится взаимно однозначное отображение множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел. Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно с множеством всех четных (натуральных) чисел.
20
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ Г
Как показывает приведенный пример, вполне может оказаться, что множество равномощно со своим собственным подмножеством. В последующих параграфах мы увидим, что ничего подобного нельзя встретить, рассматривая «конечные» множества.
§ 3. Натуральный ряд
Будет предполагаться известным множество натуральных чисел
1, 2, 3, ...;
также будут предполагаться известными следующие основные свойства этого множества (аксиомы Пеано) :
I. 1 — натуральное число.
II. Для каждого числа1) а существует вполне определенное последующее число а+ в множестве натуральных чисел.
III. Всегда
а+Ф 1,
т. е. нет числа с последующим числом I.
IV. Из а+ — Ь+ следует а = Ь, т. е. каждое число либо вовсе не является последующим ни для какого числа, либо является последующим точно для одного числа.
V. «Принцип индукции». Каждое множество натуральных чисел, которое содержит число I и вместе с каждым содержащимся в нем числом а содержит последующее число сг, содержит все натуральные числа.
На свойстве V основан метод доказательства с помощью индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством Е обладают все числа, доказывают сначала, что им обладает число 1, а затем доказывают его для произвольного числа п? при «индуктивном предположении», что число п свойством Е уже обладает. В силу аксиомы V множество чисел, обладающих свойством Е, должно содержать множество всех чисел.
Сумма двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через х + у, так, чтобы оказались выполненными следующие условия:
(1) х + 1 =х+ для каждого х;
(2) х + у’ == (х + у у для каждого х и для каждого у'1).
В силу этого определения мы можем в дальнейшем писать вместо а+ также а+1. Имеют место следующие правила:
!) «Число» будет означать пока «натуральное число».
2) Доказательство этого и всех остальных предложений данного парап> рафа читатель найдет в книге: Ландау Э. Основы анализа. М.: ИЛ, 1950,
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД
21
(3) (а + Ь) + с — а + (Ь + с) («Закон ассоциативности сложения»).
(4) а-\-Ь = Ь+ а («Закон коммутативности сложения»),
(5) Из а-{-Ь = а-\-с следует Ь = с.
Произведение двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через х • у или через ху, так, чтобы выполнялись следующие условия:
(6) х • 1 = х,
(7) х-у+ = х-у-\-х для каждого х и для каждого у.
Имеют место правила:
(8) аЬ-с — а-Ьс («Закон ассоциативности умножения»),
(9) а-Ь = Ь-а («Закон коммутативности умножения»),
(10) а-{Ь-\-с) = а-Ь+а-с («Закон дистрибутивности»),
(11) Из аЬ = ас следует Ь = с.
Больше и меньше. Если а — Ь-\-и, то пишут а > Ь или Ь <С.а. Доказывается, что:
(12) Для любых двух чисел а, Ь имеет место одно и только одно из соотношений: а<Ь, а — Ь, а>Ь.
(13) Из а<.Ь и Ь<.с следует а<.с.
(14) Из а<.Ь следует а + с<;Ь + с.
(15) Из а<.Ь следует ас<.Ьс.
Решение и уравнения а = Ь -\-и (единственное в силу (5)) в случае а>Ь обозначается через а — Ь. Вместо «а<.Ь или а — Ь» пишут кратко а^Ь. Соответствующим образом объясняется запись а^Ь.
Далее, имеет место следующая важная теорема:
Каждое непустое множество натуральных чисел содержит наименьшее число, т. е. такое число, которое меньше всех остальных чисел множества.
На этой теореме основана вторая форма индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством Е обладают все числа, доказывают, что им обладает произвольное число п, предполагая «по индукции», что оно выполнено для всех чисел, меньших п. (В частности, этим свойством обладает число п= 1, так как нет чисел, меньших единицы; следовательно, здесь предположение индукции отпадаетг). Доказательство по индукции должно, конечно, быть построено так, чтобы оно охватывало и случай п= 1,
9 Высказывание «Все А обладают свойством Е» будет считаться истинным, даже если никаких А нет вообще. Аналогично высказывание «Из Е следует (где Е и 5 — некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать известные объекты х) рассматривается как истинное, если ни один из объектов х не обладает свойством Е. Все это находится в соответствии со сделанным замечанием, согласно которому пустое множество содержится в каждом множестве.
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed