Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
точки Z0 до точек z, в которых сходится ряд ^ Cn(Z — Z0)". Если
п = 0
R+zoo, то во всех точках z', удовлетворяющих условию ' z' — Z0 J данный степенной ряд расходится. Пусть R строго больше нуля, тогда наибольшей областью сходимости данного ряда является круг \ z — z0\<C R. Всюду вне этого круга ряд расходится, в точках границы z — Zn [ = R on может как сходиться, так и расходиться.
Область ' z — z0\<LR (R > 0) называется кругом сходимости степенного ряда, а число R — его радиусом сходимости.
68
РЯДЫ аналитических функций
[гл. 2
Итак, мы установили
Следствие 2. Для всякого степенного ряда существует такое число R, что внутри круга | z — Z0 | < R данный степенной ряд сходится, а вне этого круга расходится.
В круге I z — Z0 | sc р <; R любого радиуса р, меньшего, чем
со
радиус сходимости R, степенной ряд 2 cn(z~ zo)n сходится равно-
п = 0
мерно. Отметим, что радиус сходимости степенного ряда в зависимости от вида его коэффициентов может иметь любое значение в пределах от 0 до со. Первый предельный случай будет соответствовать ряду, сходящемуся лишь в точке Z0, второй — сходящемуся на всей комплексной плоскости. Примеры соответствующих рядов уже были приведены. Радиус сходимости степенного ряда может быть определен через его коэффициенты Cn.
Следствие 3. Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции. Действительно, члены степенного ряда un(z) = cn(z — z0)n представляют собой функции, аналитические па всей комплексной плоскости, ряд сходится равномерно в любой замкнутой подобласти круга сходимости. Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция.
Следствие 4. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда. Это свойство также является прямым следствием теорем Абеля и Вейерштрасса.
со
Следствие 5. Коэффициенты степенного ряда ^ сп (г ~ zo)n
выражаются через значения суммы ряда f(z) и ее производных в центре круга сходимости по формулам
Cn=I^(Z0)- (2-9)
Положив z = z0 в выражении суммы степенного ряда f(z) =
со
= 2 сп (~ — ^о)", получим f(z0) = с0; продифференцировав ряд по-членно и положив Z = Z0 в выражении для производной /' (?) —
со
= 2 CnH(Z-Z0)'1'1, получим /' (z0) — C1; аналогично, положив z = Z0 в выражении для А-й производной
CC
f^(z)= 2 cnn(n-\)...(n-k+\)(z-z0f-\ 1=k
получим f(k> (z0) = ck ¦ kl
степенные ряды. ряд тейлора
69
со
Следствие 6. Радиус сходимости R степенного ряда cn(z — z0)n определяется формулой*) R=z—t где /= limy І сл I есть верхний
Я-»QO
предел**) последовательности {т/~| сп ]}.
Предположим вначале, что 0 < / < со. Нам надо показать, что
в любой точке Z1, удовлетворяющей условию Iz1- z0\ < у, ряд
сходится, а в любой точке Z2, удовлетворяющей условию IZ2 — Z0 I >
>у, — расходится. Так как / — верхний предел последовательности
{(/j сп ]}, то для любого е>0 можно указать номер N, начиная с которого у7") сп ) < б. С другой стороны, для того же є най-
(п г--А
дется оесконечно много членов последовательности \у I сп [/, больших 1-е. Возьмем произвольную точку Z1, удовлетворяющую неравенству
l\zi — I < }> и выберем в качестве є число 11—р^->0.
Тогда
уТ^ГІ і *і - Z01 < (7 + є) I Z1 - Z0 і = г21-г°1 = q < 1.
OO
Отсюда следует, что ряд ^ Cn(Z1-Z0Y мажорируется геометриче-
Fl=O
OO
ской прогрессией 2 Чп с0 знаменателем, меньшим единицы, что и
п — О
доказывает его сходимость. Взяв теперь некоторую точку гг, удовлетворяющую неравенству l\zi — z0\~>\, и выбрав в качестве є
/ I — Zn I — 1 _ г.
число -J-p-^—¦ > 0, получим
I Z2 — 2O I
У7" 1 Cn I ] Zo - Z0 і >(/ — є) I Z2 - Z0 j = I
для бесконечного множества значений п. Отсюда | сп (z2 — z0)n j > 1, что на основании необходимого признака сходимости свидетельст-
CO
вует о расходимости ряда ^ сп (z2 — z0)n.
/г =0
Замечание. Мы провели доказательство для случая 0<^<со. Рассмотрим теперь предельные случаи.
*) Эта формула часто называется формулой Коши — Адамара. **) Напомним определение понятия верхнего предела числовой последовательности. Верхним пределом X последовательности \хп) называется наибольшая предельная точка этой последовательности (см. вып. 1, стр. 80).
70
ряды аналитических функции
[гл. 2
При 1=0 ряд 2 cn(z — zo)n сходится в любой точке Z, т. е.
R=oo. Действительно, в этом случае для любого е>0 может быть указан такой номер N, начиная с которого у j с„ | < е. Выбрав в
качестве є число ,—-—-, где z — произвольная точка комплексной
! 2 — zo і
плоскости и 0<С<7-<1, получим ] Cn (z — Z0)" [ <С qn, что и доказы-
CO
вает сходимость ряда ^ Cn (z — z0)n.
п = 0
оо
При I= оо ряд ^P1 cn(z— Z0)" расходится в любой точке zФz0,
я = О
т. е. R = O. Действительно, в этом случае для любого числа M най-
п г---
дется бесконечно много коэффициентов сп таких, что у \ Cn I > М. Рассмотрим произвольную точку гф Z0 и выберем M так, чтобы M I z — Z01 = q > 1. Тогда бесконечное множество членов ряда
