Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если для любого положительного числа г можно указать такой номер N(є), что при я ^=ZV (є) неравенство
п
|/(z)- 2 и*(г)|<е
A = 1
выполняется сразу для всех точек z области то ряд (2.3) называется равномерно сходящимся в области 9.
со
Обозначив r„(z)= uk (z), условие равномерной сходимости
A = n-f 1
ряда (2.3) можем записать в виде \rn(z)\<.& при п(є). Ниже будет установлен ряд свойств равномерно сходящихся рядов.
Укажем важный для приложений достаточный признак равномерной сходимости.
*) См. вып. 2, стр. 300.
60
ряды аналитических функций
[гл. 2
Признак Вейерштрасса. Если всюду в области 5 члены функционального ряда (2.3) могут быть мажорированы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3) сходится равномерно в области 5.
Доказательство. По условию имеет место равномерная оценка
|H„(z)|<!a„|, z^X (2.4)
OO
Так как ряд ^P1 \ ап | сходится, то для любого є > О можно указать п = і
OO
такое N, что 2 ! aft I < є ПРИ п S= N. Но в силу (2.4) в области
k = n+ 1
Sf имеет место неравенство
OO OO OO
2 uk(z) < 2 I «а С*) I < S Ы<е
А = я + I А = n + 1 А = n + 1
при N, что и доказывает равномерную сходимость ряда (2.3) в области
Следует иметь в виду, что признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком равномерной сходимости. Имеет место следующий необходимый и достаточный признак равномерной сходимости.
Критерий Коши. Для того чтобы ряд (2.3) сходился равномерно в области 5, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало такое N (г), что одновременно во всех точках области $ выполняется соотношение
\Sn+m(z)-Sn(z)\<e (2.5)
при n^N и для любого натурального т.
Доказательство. 1) Необходимость. Из равномерной сходимости ряда (2.3) следует, что для любого є > О можно указать такое N (г), что во всех точках z области & имеют место неравенства
\f(z) - Sn (Z) |<|, \f(z) - SnJrm (z) і < є2-
при п и для любого натурального т, откуда и следует (2.5).
2) Достаточность. Из соотношения (2.5) в силу критерия Коши для числовой последовательности с комплексными членами *) следует, что при любом фиксированном ze^ последовательность \S„(z)} является сходящейся. Следовательно, при выполнении (2.5) ряд (2.3) сходится в области Э к некоторой функции f(z) = — lim Sn(z). Но в силу (2.5)
п -> со
1 im I 5„+и (г) - Sn (z) I = I f(z) ~Sn(z)\<e при п 12= N (г)
т —* со
*) См. ГЛ. 1, CTp. 19.
равномерно сходящиеся ряды функций
61
во всех точках области 9 одновременно, что и доказывает равномерную сходимость ряда (2.3) в области Sr.
3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейер-штрасса. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых общих свойств равномерно сходящихся рядов.
Теорема 2.1. Если функции Un (z) непрерывны в области 5,
со
а ряд 2 ип (z) сходится в этой области равномерно к функции
f{z), то f(z) также непрерывна в области
Доказательство. Рассмотрим выражение \f(z + Az)—f(z)\, где точки z и z + Az принадлежат области В силу равномерной
со
сходимости ряда ^ 11 п (z)> для любого є > 0 можно указать такое N, что одновременно имеют место неравенства
f(z+ Az)- J и* (Z + Az) <|, f(z)- J и* (z)
: = i
k = 1
< \ (2.6)
для любых точек z и z+ Az, принадлежащих области В силу непрерывности функций uk(z), в любой точке ге^ для заданного є и выбранного N можно указать такое б>0, что
^uk(z+Az)- 2«*W =sS 2
k = і
I нА (z+ A*)-«ft (z) К 1-(2.7)
при І Аг j < б. Из (2.6), (2.7) и из того, что модуль суммы не превосходит сумму модулей, следует, что для любого є > 0 можно указать такое б, что \f(z + Az) — f(z) | < є при |Дг|<;б. Это и доказывает непрерывность функции f(z) в области &.
Теорема 2.2. Если ряд (2.3) непрерывных функций Un (z) сходится равномерно в области 5 к функции f(z), то интеграл от этой функции по любой кусочно-гладкой кривой С, целиком лежащей в области можно вычислить путем почленного интегрирования ряда (2.3), т. е.
і с
Доказательство. Так как ряд (2.3) сходится равномерно, то для любого заданного є > 0 можно указать такой номер N, что для всех точек ? е S
62
ряды аналитических функций
[гл. 2
где L — длина дуги кривой С. Тогда
Sf(QdI- I1 \ nn{i)di
;= i с
\ гnil)dl
\\rnil)dl\<B,
что и доказывает теорему.
Отметим, что свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами, сформулированные в теоремах 2.1 и 2.2, совершенно аналогичны соответствующим свойствам функциональных рядов с действительными членами, и проведенные доказательства фактически повторяют доказательства соответствующих теорем анализа *).
Перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства равномерно сходящихся рядов, характеризующего поведение ряда, членами которого являются аналитические функции.
Теорема 2.3 (теорема Вейерштрасса). Пусть функции Un (z)
OO
являются аналитическими в области 9, а ряд ип (z) сходится
равномерно в любой замкнутой подобласти У области 9 к функции f(z). Тогда:
1) f(z) является аналитической функцией в области 9.
OO
2)/<*>(*) = 2Х>(*)-
п = 1
OO
3) Ряд 2 (г) сходится равномерно в любой замкнутой
п =J_
