Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
подобласти У области 9.
Доказательство. Проведем доказательство каждого из вышеперечисленных утверждений.
1) Рассмотрим произвольную внутреннюю точку Z0 є 9 и построим односвязную подобласть У области 9, содержащую точку Z0 внутри.
В силу теоремы 2.1 f(z) является непрерывной функцией в области 9. Рассмотрим интеграл от f(z) по произвольному замкнутому контуру С, целиком лежащему в области У. По теореме 2.2 этот интеграл можно вычислить путем почленного интегрирования ряда (2.3). Тогда в силу аналитичности функций ип(г) получим
\f (QdI= 2 \ Un(QdI = O.
п = i с
Тем самым выполнены все условия теоремы Морера. Следовательно, /(г) —функция аналитическая в окрестности У точки z0. В силу произвольности выбора точки Z0 отсюда следует аналитичность f(z) в области 9. Заметим, что для любого натурального числа п фупк-
*) См. вып. 2, гл. 8,
§ 1] равномерно сходящиеся ряды функций 63
ция rn (z) = У_] iij (z) = f(z) — yj Uj (z), представляющая собой
І = п |- 1 / = 1
сумму конечного числа аналитических функций, также является аналитической функцией в области
2) Фиксируем произвольную точку Zn е $ и выберем произвольный замкнутый контур С, целиком лежащий в построенной выше подобласти У и содержащий точку Z0 внутри. Минимальное расстояние от точки Z0 до контура С обозначим через d. Рассмотрим ряд
OO
f (Z) _ Y Un (Z)
(2-Z0)*« 2 (Z-Z0)*+! • п = 1
Так как min | z — Z0 \ = d> 0, то этот ряд в силу условий теоремы
г є с
сходится равномерно на С. Поэтому, проинтегрировав его почленно по контуру С и воспользовавшись выражением производной аналитической функции через интеграл Коши,
со
получим /<*>(*„) = У] U^(Z0). Так
п = 1
как Z0 — произвольная точка области то утверждение 2) доказано.
3) Рассмотрим произвольную под- ^_^>(^ область У области Э и построим в области $ замкнутый контур С, содер- Рис. 2.L жащий У внутри, причем так, чтобы
расстояние от произвольной точки z У до любой точки ^eC было бы не меньше некоторого положительного числа d, \z — t\^d^>0 (рис. 2.1) (очевидно, для любой подобласти У области Sr найдутся соответствующие контур С и число d). Так как rn (z) является аналитической функцией в то для любой точки гє^
имеет место соотношение ^ zjl+i dt> = (г). Причем, согласно
с
только что доказанному утверждению, rnk) (z) представляет собой
со
остаток ряда (z). В силу равномерной сходимости исходного
л = 1
со
ряда yj гг„ (г), для любого є > О можно указать такое N, что на п = і
контуре С при я ^ Л/ имеет место равномерная оценка |r„(?J < <в- "TjTT-. гДе —длина контура С. Тогда
64
ряды аналитических функций
[гл. 2
для всех z с= У одновременно, что и доказывает утверждение 3). Приведенное доказательство относится к случаю односвязной области 9. Случай многосвязной области рассматривается аналогично. Итак, теорема доказана.
Заметим, что примененный метод доказательства позволяет доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти У области 5, даже если исходный ряд (2.3) сходится равномерно и в замкнутой области. Как показывают простые примеры, из равномерной сходимости ряда (2.3) в замкнутой области S не следует равномерная сходимость в этой области ряда,
со
Yl г"
составленного из производных. Например, ряд > -2 сходится равно-
Ii = і
со
Vl г"^1
мерно в круге |z|sgl, а ряд У -. составленный из производных
п. = і
членов исходного ряда, не может сходиться равномерно в круге | г | =? 1, так как он расходится при 2=1. Таким образом, утверждение пункта 3) теоремы о равномерной сходимости ряда, составленного из производных, лишь и замкнутой подобласти исходной области не может быть, вообще говоря, расширено.
Сделаем еще одно замечание. При доказательстве теоремі.' 2.3 мы предполагали равномерную сходимость ряда в любой замкнутой подобласти У области 3. Ясно, что теорема тем более будет иметь место при условии равномерной сходимости ряда (2.3) в замкнутой области $. Как показывает нижеследующая теорема, последнее условие может быть заменено условием равномерной сходимости ряда (2.3) на границе Г области 3.
Теорема 2.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функции Un (z) являются аналитическими в области Э, непрерывными
со
в 5 и ряд 2 11 п C2O сходится равномерно на границе Г этой обла-
п = 1
со
сти. Тогда ряд ^ Un (z) сходится равномерно и в 5.
п = і
Доказательство. Разность частичных сумм данного ряда, функция Sn+P (z) — Sn (z), как конечная сумма аналитических функций, является аналитической в S и непрерывной в 3. Из равномерной сходимости на Г следует, что
I Sn+P (Q - Sn (S) I =; ип+р (Q +... + Un+1 (Q\<e
при п^ N для любого натурального р и всех точек S с=. Г одновременно. Следовательно, по теореме о максимуме модуля аналитической функции I Sn+P (z) — Sn (z) J < в при п SsZV для любого натурального
равномерно сходящиеся ряды функций
65
р и для всех z е Sr. Тем самым для данного ряда выполнен критерий Коши, что и доказывает теорему.
Замечание. Очевидно, что все доказанные выше свойства функциональных рядов справедливы и для функциональных последовательностей.
