Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
2 Cn(Z-z0)n удовлетворяет условию j сп (z — Z0Y і > 1, что и дока-
11=----0
зывает его расходимость.
Итак, формула Коши —Адамара R = где /= Hm У~\ сп \, СПра-гс-» со
ведлива при любом значении /.
В качестве примера, суїдественного для дальнейшего, рассмотрим
со
степенной ряд ^1(Z-Z0Y, все коэффициенты сп которого равны 1.
Л=; О
По признаку Даламбера получим, что данный ряд сходится в круге \z — z0\<C~[ к некоторой аналитической функции. Чтобы найти эту функцию, применим прямое определение суммы ряда как предела частичных сумм:
f(z)= Hm Sn(Z)= lim \~{?~f' = , ,] (2.10)
п^ао л-* со 1 Vz го) l —(Z-Z0)
Здесь мы воспользовались, очевидно, справедливой и в области комплексных чисел формулой суммы геометрической прогрессии с конечным числом членов и возможностью предельного перехода в числители дроби, знаменатель которой отличен от нуля. Равенство (2.10) означает, что формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии справедлива и в комплексной области.
2. Ряд Тейлора. Итак, степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию. Естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
степенные ряды. ряд тейлора
71
Теорема 2.6 (теорема Тейлора). Функция f(z), аналитическая внутри круга \z — z0\<^R, может быть представлена
со
в этом круге сходящимся степенным рядом f(z) = 2 cn(z — zu)'\
п=--0
причем этот ряд определен однозначно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z внутри круга \ z — z0\<C R и построим окружность Ср с центром в точке Z0 радиуса р < R, содержащую точку z внутри (рис. 2.2). Очевидно, для любой точки z данной области такое построение возможно. Так как точка z — внутренняя точка области I z — z01 < р, в которой функция f(z) является аналитической, то по формуле Коши имеем
^)=2я;ШС (2.11)
Осуществим в подынтегральном выражении преобразование 1 _ _1___1_ =
L,— Z L, — Z0 ] Z-Z0
? — Z11 л (Z-Z0Y
?-г„ Li (1-Z0Y'
п =о
(2.12)
Рис. 2.2.
Здесь мы воспользовались формулой (2.10) и очевидным соотноше-
C-Z0
со
I г — Z0 I"
нием
< 1. При ^eCp ряд (2.12) сходится равномерно по ?,
со
так как он мажорируется сходящимся числовым рядом ^
/1=0
(\z — z0\<Cp). Подставляя (2.12) в (2.11) и интегрируя почленно, получаем
fM-У Л- [ f^d* (г zY
(2.13)
Введя обозначение
'" 2т }
fit)
(2.14)
перепишем (2.13) в виде сходящегося в выбранной точке z степенного ряда:
/(г) = 2 Cn(Z-Z0)-.
«=0
(2.15)
72
ряды аналитических функций
[гл. 2
В формуле (2.14) окружность C9 можно заменить, в силу теоремы Коши, любым замкнутым контуром С, лежащим в области [ z — Z0 | < R и содержащим точку Z0 внутри. Так как z — произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (2.15) сходится к f(z) всюду внутри круга | z — Z0 \ < R, причем в круге | z — Z0 | р < R этот ряд сходится равномерно. Итак, функция f(z), аналитическая внутри круга I z — Z0| < R, разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд. Коэффициенты разложения (2.14) на основании формулы (1.72) для производных аналитической функции имеют вид
Сп 2л/ 3 (?-г0)"+І я! " К '
с
Остается доказать единственность разложения (2.15). Предположим, что имеет место другое разложение:.
со
f(z) = 2 Cn (г - Z0), (2.15')
/1=0
где хотя бы один коэффицинет с'пфсп. Степенной ряд (2.15') СХОДИТСЯ в круге і z — Z0 j ¦< R, поэтому на основании формулы (2.9),
fin) [2j)
Cn = —Jj] , чт0 совпадает с выражением (2.16) для коэффициентов
сп. Тем самым единственность определения коэффициентов доказана.
Разложение функции, аналитической в круге | z —- Z0 j < R, в сходящийся степенной ряд (2.15) часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (2Л5)—-рядом Тейлора.
Доказанная теорема устанавливает взаимно однозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки Z0, и степенным рядом с центром в этой точке. Это означает эквивалентность понятий аналитической функции, как функции, бесконечное число раз дифференцируемой, и функции, представимой в виде суммы степенного ряда *). Последнее имеет не только большое значение для построения теории аналитических функций, но и находит широкое применение при решении многочисленных прикладных вопросов.
*) Заметим, что аналогичная эквивалентность для функций действительной переменной не имеет места. Действительно, из существования на отрезке [а, Ь] всех производных функции f (х) еще не следует возможность разложе-
OO
ния этой функции в степенной ряд вида / (*)= 2 Cn (х — хй)п, где х0 є [а, Ь\,
сходящийся на всем отрезке [а, Ь\. Например, функция f(x) =—!— при
1 —I— л:2
любом действительном X имеет производные всех порядков, однако при *о = 0
со
степенной ряд 2 (—1)"*2" сходится к данной функции лишь на интервале
»1=0
—1<х<1, а не на всей действительной оси х. Подробнее о разложении функций действительной переменной в степенные ряды см. вып. 2, гл. 8.
