Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. В гл. 1
мы, рассматривая свойства интегралов, зависящих от параметра, ограничились лишь случаем собственных интегралов по кривой С конечной длины. Теорема Вейерштрасса позволяет обобщить полученные результаты на случай несобственных интегралов. Будем рассматривать зависящий от параметра несобственный интеграл первого рода
F(Z) = 1^f(Z, Z) dt, по неограниченной кривой С. Пусть функция двух
с
комплексных переменных f(z, ?), определенная при гє^ и ^eC1 удовлетворяет тем же условиям, что и ф(г, ?) в § 7 гл. 1, а именно:
а) Функция f(z, ?) при любом значении ^eC является аналитической функцией z в области J-.
б) Функция f(z, Z) и ее производная J- (z, Z) являются непрерывными функциями но совокупности переменных z, Z при г є ^ и 5 є С.
Пусть несобственный интеграл первого рода \f(z, Z) dt сходится
с _
равномерно по параметру z в любой замкнутой подобласти У области Это означает, что при любом выборе последовательности конечных кривых Cn, составляющих часть С, при Cn-*- С функциональная последовательность ип (z) = ^ f(z, t) dZ сходится равномерно
_ С"
в & к функции F (z).
Легко показать, что при выполнении всех перечисленных условий функция F (z) является аналитической в S и
F'(Z)= J § (г, Z) dZ. с
Действительно, как доказано в § 7 гл. 1, собственные интегралы — функции ип (z) = ^ f(z, Z) dt, являются аналитическими функциями в 5
и и'п (г) = ^ ^ (г, Z) dt,. Последовательность [ип (z)} сходится к F (z)
равномерно в любой У. Следовательно, по теореме Вейерштрасса функция F (г) — аналитическая в J- и F' (z)= [ (z, QdZ,.
66
ряды аналитических функций
[гл. 2
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора
1. Теорема Абеля. В предыдущем параграфе рассматривались общие функциональные ряды (2.3), причем вид функций ип(г) не конкретизировался. Очень важными являются так называемые степенные ряды, для которых и„ (z) = сп (z — Zn)"1, где сп — некоторые комплексные числа, a Zn — фиксированная точка комплексной плоскости. Члены
со
ряда cn(z — Z0)" являются аналитическими функциями на всей
п = О
комплексной плоскости, поэтому для исследования свойств данного ряда могут быть применены общие теоремы предыдущего параграфа. Как было установлено, многие важные свойства являются следствием равномерной сходимости. Тем самым при исследовании степенного
со
ряда ^P1 cn(z — Z0)'1 важно установить область его равномерной схо-п = о
димости. Сразу заметим, что область сходимости степенного ряда
со
определяется видом коэффициентов сп. Например, ряд ^n\(z — zn)n
/1=0
сходится лишь в одной точке z = Zn. Действительно, отношение модулей двух последовательных членов ряда = (п + 1) | z — Zn \ > 1
при любом фиксированном значении z Ф Zn, начиная с некоторого IV(г), что, согласно рассмотрениям стр. 58, свидетельствует о расходимости данного ряда. С другой стороны, с помощью признака Далам-
CO
бера легко установить абсолютную сходимость ряда У —ПРИ
п = О
любом Z.
Для определения области сходимости степенного ряда существенной оказывается следующая теорема.
Теорема 2.5 (теорема Абеля). Если степенной ряд
со
cn(z — zn)n сходится в некоторой точке Z1 ф Zn, то он абсо-
п = о
лютно сходится и в любой точке z, удовлетворяющей условию \z — zn J < ' Z1 — Zn |; причем в круге \ z — z0\^p радиуса р, меньшего I Z1 — zn\, ряд сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z, удовлет-
CO
воряюшую условию I z — Z01 < I Zx — Z01, и рассмотрим ряд ^cn(Z —
п = О
— Z0)". Обозначим I z — Z0 \ = q \ Z1 — Zn |, q <[ 1. В силу необходимого
со
условия сходимости ряда Cn(Z1-Z0)" его члены стремятся к нулю
степенные ряды, ряд тейлора
67
при п —*- со. Следовательно, существует такая константа М, что 0 ]" М. Отсюда для коэффициентов Cn данного степен-
, ьп \ і ~1
ного ряда получим оценку |сп |
M
Tn. Тогда
2 Cn (Z - Z0)"
п = о
Z-Zn
M
п = о
(2.8)
По условию теоремы число q =
<
1. Ряд ^ 9й, представ-
ляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, сходится. Тогда из (2.8) следует сходимость и рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную схо-
дим
ость ряда У) cn(z — z0)n в круге Jz-
; р < IZ1 —,
доста-
точно, в силу признака Вейерштрасса, построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный функциональный ряд в рассматри-
ваемой области. Очевидно, таковым является ряд M 'S
также представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. Теорема полностью доказана.
Из теоремы Абеля можно вывести ряд важных следствий.
со
Следствие 1. Если степенной ряд У_] cn(z — z0)n расходится
в некоторой точке Z1, то он расходится и во всех точках z, удовлетворяющих неравенству J ,г-—Z01 > | Z1 — Z01.
Предполагая противное, получим, что по теореме Абеля ряд должен сходиться в любом круге радиуса p<d\z — Z0 \, в частности и в точке Z1, что противоречит условию.
Рассмотрим точную верхнюю грань R расстояний | z — Z0 [ от
