Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 21

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 115 >> Следующая

1/(S)I=SSAf-B, в>0.
Тогда
2я Фа 4>і 2я
¦ \ 1/(S) І сіф = \ 1/(S) I <*ф + \ 1/(S) I <*ф + \ I/(S) I dy <
0 фі 0 фа
< (M — в) (Фз — ф1) + Ж [2я - (ф2 - фО] < 2яЖ,
что противоречит (1.64). Итак, соотношение (1.65) действительно имеет место. Это означает, что на окружности радиуса R с центром в точке Z0 функция I f(z) I имеет постоянное значение, равное своему максимальному значению в области 9. То же будет иметь место и на любой окружности меньшего радиуса с центром в точке Z0, а следовательно, и во всем круге K0. Теперь' легко показать, что это же значение функция|/(г) I имеет и в любой другой внутренней точке z* области 3. Для этого соединим точки Z0 и z* кривой С, целиком лежащей в области 9 и отстоящей от ее границы не меньше чем на некоторое положительное число d. Возьмем точку Z1, являющуюся последней общей точкой кривой С и круга K0 (рис. 1.10). Поскольку If(Z1)I = M, то, повторяя проведенные выше рассуждения, покажем,
интегралы, зависящие ot параметра
51
что внутри круга K1Ci 5 с центром в точке Z1 радиуса R1^d модуль функции f(z) принимает постоянное значение, равное максимальному значению М. Взяв на кривой С точку Z2, являющуюся последней общей точкой кривой С и круга Кь и продолжая данный процесс, мы в результате конечного числа шагов получим, что внутри круга Kn, которому принадлежит точка z*, имеет место равенство I/(z)| = М, что и доказывает высказанное утверждение.
Итак, мы показали, что если j f(z) I принимает максимальное значение M в некоторой внутренней точке области, то |/(z) I = M во всей области *).
Таким образом, если функция j f(z) I не является постоянной величиной в области &, то она не может достигать своего максималь- Рис- 1-Ю.
ного значения во внутренних точках 9. Но так как функция, непрерывная в замкнутой области, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области, то в последнем случае функция | /(z) | должна достигать своего максимального значения в граничных точках.
В качестве последнего замечания отметим, что если аналитическая в области 9 функция f(z) не равна нулю ни в одной точке этой области и непрерывна в 3, то имеет место принцип минимума модуля этой функции. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть функцию ф (z) = j~ и воспользоваться принципом максимума модуля этой функции.
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра
1. Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования ? и фиксированного значения переменной z0. Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра Z0. Естественно
*) Как следует из соотношений (1.20), в этом случае и аргумент аналитической функции / (г) также сохраняет постоянное значение в области S?, откуда следует, что если модуль аналитической функции постоянен в некоторой области, то эта функция тождественно равна постоянной в данной области.
52
функции комплексной переменной
[гл. 1
поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функция двух комплексных переменных *) ср (г, ?), однозначно определенная для значений комплексной переменной z = = x-\-iy из области 5 и для значений комплексной переменной 1 = \ + щ, принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области 5 и кривой С может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных ф(г, Q удовлетворяет следующим условиям:
а) Функция ф (z, ?) при любом значении ? с= С является аналитической функцией z в области 5.
б) Функция ф(Х Q и ее производная -qz(z, Q являются непрерывными функциями по совокупности переменных z, ? при произвольном изменении z в области 9 и ? на кривой С.
Условие б) означает, что действительная и мнимая части функции
(z' непрерывны по совокупности переменных х, у, I, г).
Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции ф (z, Q по кривой С существует при любом г є & и является функцией комплексной переменной z:
F(z) = l(f>(z, Qdl=U(x, у)+ lV(x, у). (1.66)
с
Естественно поставить вопрос о свойствах функции F (z). Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции (p(z, Q функция F (z) является аналитической функцией комплексной переменной z в области 9, причем производную функции F (z) можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл
U (х, У)=\и (X, у, I, t\)dl — v (х, у, І, ті,) сіц.
с
Так как, по предположению, функции и и v обладают частными производными по X и у, непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции U(х, у) по переменным х, у существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования
*) Функция двух комплексных переменных г, ? определяется законом, ставящим в соответствие каждой паре значений г, ? из области их определения некоторое комплексное число W. Подробнее о функциях многих комплексных переменных см. Приложение 3.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed