Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 29

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 115 >> Следующая

§ 2] степенные ряды. ряд тейлора 73
1+г2 _
что и дает искомое разложение. Заметим, что радиус сходимости ряда (2.17) равен 1, т. е. определяется расстоянием от центра разложения до границы области аналитичности функции f(z) = ——
^ і -j- Z-
Найдем теперь разложение функции /(z) = -——- в ряд Тейлора
__ 1 +Z-
в круге |z— 1|<]/2. Определение коэффициентов сп ряда
OO
У, Cn(Z- 1)" но формуле (2.16) в данном случае связано с довольно
11(1
громоздкими вычислениями, поэтому, представив \~+&~ 2i Iz—І ~~ — ті—.} и воспользовавшись формулой (2.10), справедливой в дан-ном случае при условии jz— 1 |<; |72, получим
1+г*
(1 = 0
2j * '^2(".(1-i)4+1 (1 + Ои+1]^~ '^'
С помощью показательной формы записи комплексных чисел X-I =
.71 , Я
= \/~2 е 4, і -\-i = Y~2 е 4, легко теперь получить
Заметим, наконец, что если функция f(z) является аналитической в области S и Z0 — внутренняя точка этой области, то радиус схо-
CO
¦—(z — z0)n этой функции не
га=0
меньше, чем расстояние от точки Z0 до границы области S.
Пример 1. В качестве простейшего примера рассмотрим разложения в ряд Тейлора функции f{z) = ^22- Эта функция является
аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек zli2 = zt/, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Поэтому в любом круге на комплексной плоскости, не содержащем точек zlj2 = — i, эта функция в силу теоремы 2.6 может быть разложена в ряд Тейлора. Начнем с круга Jzj<;l. При условии |z|<l
выражение гнг~ї может рассматриваться как сумма бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии. Поэтому в силу (2.10)
со
= У (-l)«z2", (2.17)
74 ряды аналитических функций [гл. 2
z
C0 = In 1 = 0; C1 =
6" я! > zn
= (-1)"-1 \, я = 2, 3,
п
Отсюда
со
\nz= 2 (-Ir1^r1- (2.19)
га = 1
Как легко убедиться с помощью признака Даламбера, кругом сходимости ряда (2.19) является круг \ z— 1|<1.
§ 3. Единственность определения аналитической функции
Уже изученные нами свойства функций комплексной переменной позволяют заключить, что для определения функции, аналитической в данной области, можно ограничиться заданием значений этой функции не во всей области. Например, задавая значения аналитической функции на границе области, мы с помощью интеграла Коши можем определить ее значения во всех внутренних точках области. Тем самым функция, аналитическая в данной области, определяется заданием неполной информации о ее значениях в этой области. Естественно поставить вопрос: какова та «минимальная» информация, которую надо иметь, чтобы полностью определить функцию, аналитическую в данной области?
1. Нули аналитической функции. Предварительно введем понятие нуля аналитической функции. Пусть /(г) является аналитической функцией в области 'S. Точка г0є^ называется нулем f(z), если /(г0) = 0. Из разложения f(z) в окрестности точки Z0 в степенной
со
ряд, f(z) = Cn (z — z0)a, следует, что в данном случае коэффици-
я = 0
Как следует из формулы Коїли — Адамара, радиус сходимости ряда (2.18) равен ]/~2, т. е. опять определяется расстоянием от центра разложения до границы области аналитичности рассматриваемой функции.
Пример 2. В качестве следующего примера рассмотрим раз-
z
ложение в ряд Тейлора функции f(z) = \nz=\^ введенной в

гл. 1 (стр. 45). Выше было установлено, что эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости с разрезом но отрицательной части действительной оси, а следовательно, и внутри круга \z— 1|<1. Полагая Z0=I и вычисляя, коэффициенты сп по формуле (2.16), получаем
§ 3] единственность определения аналитической функции
75
ент с0 = 0. Если не только коэффициент с0, но и коэффициенты C1, г2, ск_г равны нулю, а. коэффициент ск отличен от нуля, то
точка Z0 называется нулем k-го порядка функции Z(2O- Согласно формуле (2.9) в пуле k-ro порядка не только сама функция, по и ее первые k — 1 производных равны нулю, а А-я производная отлична от нуля. В окрестности нуля порядка k разложение функции f{z) в степенной ряд имеет вид
со
Il =- Ii
СО
- (г - znf X ca+k (z - ZnY = (Z - zn)k ф (Z), (2.20)
п = 0
где ер (z) является аналитической функцией в окрестности точки zn,
со
разложение которой в степенной ряд имеет вид ф(^)= У] cn+k(z — zn)n,
причем ф (Zn) Ф 0. Отметим, что последний ряд сходится в том же круге, ЧТО И исходный.
2. Теорема единственности. Перейдем теперь к формулировке основного положения данного параграфа.
Теорема 2.7. Пусть функция /(г) является аналитической в области S и обращается в нуль в различных точках Zn е S, п—\, 2, ... Если последовательность [zn\ сходится к пределу а, принадлежащему той же области, то функция f{z) тождественно равна нулю в области S.
Доказательство. Так как а <= S, то функцию f(z) можно разложить в степенной ряд в окрестности данной точки: f(z) =
со
= 2] ca(z — а)п, причем радиус Rn сходимости данного ряда не
п~0
меньше расстояния от точки а до границы области. Из определения непрерывности функции f(z) следует, что /(а) = 0. Отсюда следует, что с0 = 0, и разложение функции f(z) ь окрестности z = a имеет вид
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed