Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 23

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 115 >> Следующая

*) См. теорему 1.8 стр. 44.
56
функции комплексной переменной
[гл. 1
В § 4 мы ввели тригонометрические функции комплексной переменной и показали, что они являются аналитическими функциями на всей комплексной плоскости. В силу только что доказанной теоремы эти функции не могут быть равномерно ограничены на всей комплексной плоскости. Отсюда, в частности, следует, что найдутся такие значения комплексной переменной z, для которых
)sinzj>l. (1.73)
Этим тригонометрические функции комплексной переменной существенно отличаются от соответствующих функций действительной переменной.
ГЛАВА 2
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В настоящей главе будут рассмотрены основные свойства функциональных рядов, члены которых являются функциями комплексной переменной. Особую роль в теории функций комплексной переменной играют ряды аналитических функций и, в частности, степенные
со
ряды вида У] сп(г — Z0)", где сп — заданные комплексные постоян-
п = 0
ные, Z0 — фиксированная точка комплексной плоскости. Изучение этих рядов оказывается весьма существенным как для выяснения ряда общих свойств функций комплексной переменной, так и для решения различных задач, связанных с применением методов теории функций комплексной переменной.
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной
1. Числовые ряды. Начнем с рассмотрения некоторых общих свойств числовых рядов с комплексными членами, т. е. выражений вида
OO
где {ak} — заданная числовая последовательность с комплексными членами.
Ряд (2.1) называется сходящимся, если сходится последова-
п
тельность {Sn} его частичных сумм Sn= У] ак. При этом пре-дел 5 последовательности {Sn} называется суммой ряда (2.1). Ряд
OO
У] ак называется п-м остатком ряда (2.1). В случае сходяще-
гося ряда сумму ею п-то остатка обозначают гп и обычно также называют остатком ряда (2.1). Для сходящегося ряда S = Sn-^rn и
58
ряды аналитических функций
!гл. 2
для любого г > 0 можно указать такой номер А/, что | Tn |< є при n'^N. Из определения сходящегося ряда следует, что необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши*). А именно, ряд (2.1) сходится тогда и только тогда, если
п + р
для любого є > 0 можно указать такой номер N, что
при n5=JV и любом натуральном
Необходимым условием сходимости ряда (2.1) является требование Hm ал = 0. Действительно, из сходимости этого ряда, в силу
п —* со
критерия Коши, следует, что для любого е> 0 можно указать такое N, что |а„+11 = | Sn+1 — 5„|<е при п^ N. Если сходится ряд
(2.2)
с действительными положительными членами, то, очевидно, сходится и ряд (2.1), который в этом случае называется абсолютно сходящимся. Одним из наиболее часто употребляемых способов исследования сходимости ряда с комплексными членами является рассмотрение ряда с действительными членами, являющимися модулями членов исходного ряда. Как известно **), достаточными признаками сходимости ряда с действительными положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Согласно признаку Даламбера ряд (2.2) сходится, если, начиная
;/<1 для всех п^ N.
тг + 1
с некоторого номера N, отношение
ап
Отметим, что если, начиная с некоторого номера N, отношение
ia±L ja 1, то ряд (2.1) с комплексными членами расходится. Дейст-
вительно, в этом случае все члены ряда (2.1), начиная с одг, удовлетворяют соотношению I ап \ 5= I ащ \ 0, т. е. не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Согласно признаку Коши ряд (2.2) сходится, если Y \ ап\^Ч <~ 1 для всех п N. Если, начиная с некоторого N, для всех n^N имеет
место соотношение У\ап\~^\, то ряд (2.1) расходится.
2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Перейдем теперь к рассмотрению функциональных рядов, членами которых являются функции комплексной переменной. Пусть в области 5 определена бесконечная последовательность однозначных функций комп-
*) Являющийся прямым следствием критерия Коши сходимости числовой последовательности {Sn}; см. стр. 19. **) См. вып. 1, гл. 13.
равномерно сходящиеся ряды функций
59
лексной переменной {un(z)}. Выражение вида
OO
Z Un[Z) (2.3)
л = 1
будем называть функциональным рядом. При фиксированном значении Z0C=^ ряд (2.3) превращается в числовой ряд вида (2.1).
функциональный ряд (2.3) называется сходящимся в области 5, если при любом z с= 5 соответствующий ему числовой ряд сходится. Если ряд (2.3) сходится в области 3, то в этой области можно определить однозначную функцию f(z), значение которой в каждой точке области равно сумме соответствующего числового ряда. Эта функция называется суммой ряда (2.3) в области 5. В силу данных определений в этом случае для любой фиксированной точки 2E^ и любого заданного положительного числа є можно указать такой номер /V, что
п
\f{z)- 2 uk(z)\<e при n^N(e,z).
Заметим, что в общем случае N зависит и от є и от z.
В теории рядов функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, особую роль играет понятие равномерной сходимости. Например, как помнит читатель из курса анализа *), сходящийся ряд непрерывных функций далеко не всегда сходится к непрерывной функции. В то же время сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда является непрерывной функцией. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, обладают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перейдем. Начнем с определения.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed