Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
На протяжении всей этой книги термин векторное пространство означает векторное пространство над полем С комплексных чисел или над полем R вещественных чисел. Ради полноты в п. 1.4 приводится подробное определение.
1.2. Нормированные пространства. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому х?Х сопоставлено неотрицательное вещественное число ||л:[|, называемое нормой X1 так что выполнены следующие условия:
(a) I + у IK II X Il + 11 у И для всех х и у из X;
(b) \ах И = I а I ¦ К X И для любого х?Х и. любого скаляра а;
(c) |*|| > 0, если хфО.
Нормой называют также функцию, сопоставляющую вектору X число ||х||.
Каждое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое пространство, в котором расстояние d(x, у) между X и у равно \\х—у\\. Расстояние d обладает следующими свойствами:
(і) 0 ^.d(x, у) < оо для всех X и у;
10
часть 1. общая теория
(ii) d(x, #)=0 тогда и только тогда, когда х = у;
(iii) d(х, y)—d(y, х) для всех х и у;
(iv) d(xt z)^.d(x, y)-\-d(y, z) для всех xt у и z.
В любом метрическом пространстве открытым шаром радиусам г с центром в точке X называется множество
Br(X)== {У- d(x, у)<г}.
В частности, если X—нормированное пространство, множества»
Вл(0) = {х: (ІжIK 1} и B1(O) = I*: ||*||<1}
являются соответственно открытым единичным шаром и замкнутым единичным шаром пространства X.
Объявляя подмножество метрического пространства открытым в том и только в том случае, если оно является объединением, (быть может, пустым) открытых шаров, получаем топологию' (см. п. 1.5). Совсем легко проверить, что операции векторного пространства (сложение векторов и умножение их на скаляры) непрерывны в этой топологии, если метрика построена по норме указанным выше способом.
Банахово пространство — это нормированное пространство, полное относительно метрики, определяемой его нормой; полнота означает, что всякая последовательность Коши должна быть-сходящейся.
1.3. Многие из наиболее известных функциональных пространств являются банаховыми пространствами. Упомянем лишь. некоторые типы таких пространств: пространства непрерывных функций на компактных пространствах; хорошо известные-ZAпространства, встречающиеся в теории интегрирования; гильбертовы пространства — ближайшие родственники евклидовых пространств; некоторые пространства дифференцируемых функций; пространства непрерывных линейных отображений одного банахова пространства в другое; банаховы алгебры. Все они еще встретятся нам в дальнейшем.
Однако имеется также много пространств, которые не укладываются в эти рамки. Вот некоторые примеры:
(a) С (H)— пространство всех непрерывных комплексных функций на некотором открытом подмножестве Q евклидова пространства R";
(b) II (H) — пространство всех функций, голоморфных в некотором открытом подмножестве Q комплексной плоскости;
(c) С" — пространство всех бесконечно дифференцируемых. комплекспых функций на равных 0 вне некоторого фиксированного компактного множества К с непустой внутренностью;
(d) пространства пробных функций, используемые в теоріш распределений, а также пространства распределений.
гл. 1. топологические векторные пространства
11
Эти пространства обладают естественными топологиями, которые, как мы увидим в дальнейшем, не могут быть индуцированы .нормами. Как и нормированные пространства, они служат примерами топологических векторных пространств—понятие, пропитывающее весь функциональный анализ.
После этой попытки краткого изложения мотивов мы приведем здесь подробные определения, сопровождаемые предварительным «рекламным просмотром» (в п. 1.9) некоторых результатов .этой главы.
1.4. Векторные пространства. Буквами RhC мы всегда будем ¦обозначать соответственно поле вещественных и поле комплексных чисел. Пусть Ф обозначает либо R, либо С. Скаляр — это элемент поля скаляров Ф. Векторное пространство над полем Ф представляет собой множество X (его элементы называются векторами), в котором определены две операции—умножение на скаляры и сложение,— обладающие следующими общеизвестными алгебраическими свойствами:
(a) каждой паре векторов х и у сопоставлен вектор х-\~yf шричем
х + у = у + х и x + {y + z) = {x + y) + z;
X содержит единственный вектор 0 (нулевой вектор), такой, что jc-j- 0-= X для всех X ^X; для каждого х ? X существует единственный вектор —х, такой, что л: + (—*) = 0;
(b) каждой паре (а, х), где а?Ф и х GX, сопоставлен вектор ах, причем
\х~х, а фх) = (оф) X
м выполняются два дистрибутивных закона
а (х -f- у) = ах -f- ay, (cc + ?) х = ах + ?x.
Символ 0 будет, конечно, употребляться и для обозначения 'нулевого элемента поля скаляров.
Если O = R, то X называется вещественным векторным пространством, а если Ф = С,—комплексным. Если в некотором утверждении о векторных пространствах поле скаляров явно не указано, то подразумевается, что это утверждение относится к обоим случаям.
Если X — векторное пространство, AaX, BcX, х?Х и А?Ф, то будут употребляться следующие обозначения:
х + А = {х + а\ а?А), X — А = {х—а: а?Л\, А + В = {а + Ь: а?А, Ь?В), Ы = {Ка: а?А\.
