Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
12
часть 1. общая теория
В частности, через —А обозначается множество всех векторов» противоположных к векторам из А.
Предостережение: может случиться, что 2АфА-\-А (упр. 1).
Множество YdX называется подпространством пространства X, если Y само является векторным пространством (разумеется, относительно тех же самых операций). Легко проверить, что это происходит тогда и только тогда, когда 0?F и
для всех скаляров а и ?.
Множество Сс X называется выпуклым, если
tC + {\ — I)CaC (0</< 1).
Иными словами, требуется, чтобы С содержало tx-\-(\ — t)y„ если X ? С, у?С и 0 < / < 1.
Множество BdX называется уравновешенным, если аВаВ для любого а?Ф, удовлетворяющего условию |а|^1.
Векторное пространство X имеет размерность п (dim X =/г), если оно обладает базисом {иг, ип). Последнее означает,
что каждый вектор х ? X допускает единственное представление в виде
Jf = CC1U1+ ... +CtnUn (а^Ф).
Если dim X = я для некоторого п, то пространство X называется конечномерным. Если Х = {0}, то (по определению) dim X = O.
Пример. Если X = C (одномерное векторное пространство над полем С), то уравновешенными являются лишь следующие множества: С, пустое множество 0, одноточечное множество' {0} и любой круг (открытый или замкнутый) с центром в точке 0. Если же X = R2 (двумерное векторное пространство над полем R), то уравновешенных множеств значительно больше1); например, таковым является всякий прямолинейный отрезок, середина которого находится в точке (0, 0). Дело в том, что, несмотря на общеизвестную и очевидную возможность отождествления С и R2, они представляют собой совершенно различные векторные пространства.
1.5. Топологические пространства. Топологическим пространством называется множество S, в котором выделено некоторое семейство т подмножеств (именуемых открытыми множествами), обладающее следующими свойствами: 5 открыто, 0 открыто, пересечение любых двух открытых множеств открыто и объединение любой совокупности открытых множеств открыто. Такое
1J Это высказывание имеет следующий точный смысл: множество уравновешенных подмножеств в С имеет мощность континуума с, а множество» уравновешенных подмножеств в R2 имеет мощность 2е.— Прим. перев.
гл. I. топологические векторные пространства \$
семейство т называется топологией в S. Если требуется явно указать, что S рассматривается как топологическое пространство с топологией т, то вместо S будем писать (S, т).
Приведем список некоторых стандартных терминов, употребляемых в описанной выше ситуации.
Множество EdS называется замкнутым, если его дополнение открыто. Замыкание E множества E—это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е. Внутренностью E0 множества E называется объединение всех открытых множеств, содержащихся в Е. Окрестность точки p?S—это любое открытое множество, содержащее эту точку. Пространство (S, т) называется хаусдорфовым пространством, а т—хаусдорфовой топологией, если для каждой пары различных точек в S существуют непересекающиеся окрестности. Множество KdS компактно, если каждое его покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие. Семейство T7CZT называется базой топологии т, если каждый элемент из т (т. е. каждое открытое множество) является объединением некоторых элементов из т'. Совокупность у окрестностей точки p^S называется локальной базой в точке р, если любая окрестность этой точки содержит некоторую окрестность, принадлежащую у.
Если EdS и о—совокупность всех пересечений EnV, где V ? т, то, как легко проверить, а является топологией в Е; мы называем ее топологией, наследуемой E из S (или индуцированной топологией).
Если топология т порождается метрикой d (см. п. 1.2), то мы говорим, что d и т совместимы.
Последовательность {хп\ в хаусдорфовом пространстве X сходится к точке х Є X ( или \'тлхп = х\, если любая окрест-
ность точки X содержит все точки хп, за исключением, быть может, конечного их числа.
1.6. Топологические векторные пространства. Предположим, что т—такая топология в векторном пространстве X, что
(a) каждая точка в X является замкнутым множеством;
(b) операции векторного пространства непрерывны относительно т.
При этих условиях т называется векторной топологией в X, а X называется топологическим векторным пространством.
Вот более аккуратная формулировка условия (а): для любого х?Х множество {х\, состоящее из единственного элемента х, является замкнутым.
Во многих руководствах условие (а) не включается в определение топологического векторного пространства. Но так как оно выполняется почти во всех приложениях и так как боль-
14
часть 1. общая теория
шннство интересных теорем содержат это условие в качестве одного из предположений, то представляется целесообразным включить его в число аксиом. [Теорема 1.12 показывает, что если выполняются (а) и (Ь), то топология т хаусдорфова.]
Непрерывность сложения по определению означает, что отображение .
у)—*X \-у
декартова произведения XxX в X непрерывно: если х^Х для 1 = 1, 2 и V—окрестность точки X1-J-X2, то должны существовать такие окрестности V1- точек xh что
