Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Е. А. Горит. В. Я. Лин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Функциональный анализ изучает некоторые тополого-алгебраи» яеские структуры, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах могут применяться к аналитическим задачам.
Хороший вводный учебник функционального анализа должен ^содержать изложение аксиоматики (т. е. общей теории топологических векторных пространств), достаточно глубокую трактовку хотя бы некоторых разделов предмета и несколько интересных приложений к другим областям математики. Я надеюсь, что данная книга удовлетворяет этим требованиям.
Предмет в целом невероятно обширен и продолжает быстро расти. (Библиография в первом томе книги [13] занимает 96 страниц и доведена только до 1957 г.) Поэтому, чтобы написать книгу умеренного объема, необходимо было выбрать лишь некоторые области и проигнорировать другие. Я хорошо сознаю, что почти любой специалист, взглянув на оглавление, обнаружит отсутствие некоторых своих (и моих) излюбленных тем; но это .представляется неизбежным. В мои намерения не входило написать энциклопедический трактат. Я хотел написать книгу, .открывающую путь к дальнейшим исследованиям.
По этой причине были опущены многие из наиболее изысканных разделов общей теории топологических векторных пространств. Например, не рассматриваются равномерные пространства, «сходимость Мура—Смита, сети и фильтры. Понятие полноты вводится лишь для метрических пространств. Не упоминаются ни бор пологические, ни бочечные пространства. Двойственность, конечно, присутствует, но не в максимальной общности. Интегрирование векторных функций рассматривается только как инструмент; при этом внимание сосредоточено на интегрировании ,непрерывных функций со значениями в пространстве Фреше.
Тем не менее материал первой части вполне достаточен почти для всех приложений к конкретным задачам. А на это и должен быть сделан упор в подобном курсе; ведь тесное взаимодействие между абстрактным и конкретным представляет собой не только наиболее полезную, но и наиболее пленительную сторону предмета.
Вот некоторые другие особенности изложения отобранного материала. Довольно большая часть общей теории развита без предположения локальной выпуклости. Основные свойства компактных операторов устанавливаются с помощью теории двойствен-
8
предисловие
ности для банаховых пространств. В главе 5 указано несколько способов применения теоремы Крейна—Мильмана о существовании крайних точек. Теория распределений и преобразования Фурье разработана достаточно подробно и применяется (в двух очень коротких главах) к двум задачам об уравнениях с частными производными и к доказательству тауберовой теоремы Винера, а также используется при обсуждении двух приложений этой теоремы. Спектральная теорема выводится из теории банаховых алгебр (а именно, из принадлежащего Гельфанду и Най-марку описания коммутативных ?*-алгебр); это, может быть, не кратчайший, но легкий путь. Функциональное исчисление в банаховых алгебрах изложено довольно подробно; так же обстоит дело с инволюциями и положительными функционалами. Включены некоторые сравнительно новые результаты о банаховых алгебрах, еще не нашедшие места в других руководствах.
Я предполагаю, что читатель хорошо знаком с теорией меры и интеграла Лебега (включая полноту пространств Lp), с основными свойствами голоморфных функций (такими, как теорема Коши в общей форме и теорема Рунге) и с некоторыми элементарными топологическими понятиями, сопутствующими обычно этим двум аналитическим теориям. Некоторые другие топологические факты кратко изложены в приложении А. Не требуется почти никакой алгебраической подготовки, кроме знания того» что такое гомоморфизм.
Исторические указания и ссылки собраны в приложении В. Некоторые из них относятся к первоисточникам, другие—к более новым книгам, статьям и обзорам, в которых можно найти дальнейшую библиографию. Имеется, конечно, много результатов, источники которых не указаны. Отсутствие ссылки ни в коем случае не означает претензию на авторство с моей стороны.
Большинство приложений сосредоточено в главах 5, 8 и 9. Некоторые приводятся в главе 11, а также более чем в 250 упражнениях; многие из упражнений снабжены указаниями. Схема зависимости глав изображена на следующей диаграмме:
/10—11 — 12—13 1—2—3—4—5 й
Ч-7<8 х9
Эта книга возникла из курса, который я вел в Висконсин-ском университете. Я имел много плодотворных бесед на различные затронутые в ней темы с некоторыми из моих коллег, особенно с Патриком Ахерном, Полем Рабиновичем, Дэниелом Шие и Робертом Тернером. С удовольствием благодарю их всех.
Уолтер Pудин
Часть первая
Общая теория
Глава 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение
1.1. Многие из задач, которыми занимаются аналитики, касаются не отдельных объектов типа функций, мер или операторов, а скорее обширных классов таких объектов. Большинство интересных классов, возникающих таким образом, оказываются векторными пространствами над полем комплексных или вещественных чисел. Поскольку во всякой аналитической задаче некоторую роль (явно или неявно) играет предельный переход, неудивительно, что эти векторные пространства можно наделить метрикой или по крайней мере топологией, естественно связанной с объектами, составляющими пространство. Простейший и наиболее важный способ сделать это состоит во введении некоторой нормы. Получающаяся при этом структура (точное определение дано ниже) называется нормированным векторным пространством, или нормированным линейным пространством, или просто нормированным пространством.
