Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
V\+ V2 с1Л
Аналогично условие непрерывности умножения на скаляры означает, что отображение , .
r (a, X)—>ах
произведения ФхХ в X непрерывно: если х?Х, а—скаляр и V—окрестность вектора ах, то для некоторого г > 0 и некоторой окрестности W точки X выполняется включение ?lVczV всякий раз, когда |?—а|<г.
Подмножество E топологического векторного пространства называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля VbX найдется такое число s > О, что EcztV при всех t > s.
1.7. Инвариантность. Пусть X — топологическое векторное пространство. Сопоставим каждому вектору а 6 X оператор сдвига Та, а каждому скаляру КфО—оператор умножения Mx, определив их формулами
Та(х) = а + х, Mx(X)=Xx (х?Х).
Следующее простое предложение весьма важно:
Предложение. Отображения Tа и Mx являются гомеоморфизмами X на X.
Доказательство. Из аксиом векторного пространства следует, что Та и — взаимно однозначные отображения X на X и что обратными к ним служат соответственно отображения T-а и MljX. Из условий непрерывности операций векторного пространства вытекает, что эти четыре отображения непрерывны. Следовательно, каждое из них является гомеоморфизмом (т. е. непрерывным отображением, обратное к которому тоже непрерывно). Щ
Одно из следствий этого предложения состоит в том, что всякая векторная топология т инвариантна относительно сдвигов (или, для краткости, просто инвариантна): множество EaX открыто тогда и только тогда, когда все его сдвиги а-\-Е являются открытыми множествами. Таким образом, т полностью определяется любой локальной базой.
гл. 1. топологические векторные пространства
15
Если речь идет о векторном пространстве, то термин локальная база всегда будет означать локальную базу в точке 0. Таким образом, локальная база топологического векторного пространства X—это такое семейство SB окрестностей пуля, что любая окрестность нуля содержит некоторую окрестность, принадлежащую ЗВ. Открытыми множествами в X являются те и только те множества, которые представляются в виде объединений сдвигов окрестностей из 35.
Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если
d(x + z, y + z) = d{x, у) для всех х, у, Z из X.
1.8. Типы топологических векторных пространств. В следующих определениях X всегда обозначает топологическое векторное пространство с топологией т:
(a) X локально выпукло, если существует локальная база ЗВ, состоящая из выпуклых окрестностей.
(b) X локально ограничено, если существует ограниченная окрестность нуля.
(c) X локально компактно, если существует окрестность нуля, замыкание которой компактно.
(d) X метризуемо, если топология т совместима с некоторой метрикой.
(e) X является F-пространством, если его топология т порождается некоторой полной инвариантной метрикой d (ср, п. 1.25).
(f) X называется пространством Фреше, если оно является локально выпуклым /-"-пространством.
(g). X называется нормируемым., если в нем существует такая норма, что индуцированная сю метрика совместима с топологией т.
(h) Нормированные пространства и банаховы пространства уже были определены (п. 1.2).
(i) X обладает свойством Гейне — Бореля, если каждое замкнутое ограниченное подмножество в X компактно.
Терминология, которой мы придерживаемся в определениях (е) и (f), не является общепринятой: в некоторых руководствах требование локальной выпуклости не включается в определение пространства Фреше, тогда как в других термин «F-пр естр а і їство» употребляется для обозначения пространств, которые мы назвали пространствами Фреше.
1.9. Вот перечень некоторых связей между введенными выше свойствами топологического векторного пространства X.
16
часть I. общая теория
(a) Если X локально ограничено, то оно обладает счетной локальной базой (часть (с) теоремы 1.15).
(b) X метризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетной локальной базой (теорема 1.24).
(c) X нормируемо тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и локально ограничено (теорема 1.39).
(d) X конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно (теоремы 1.21 и 1.22).
(e) Если локально ограниченное пространство X обладает свойством Гейне—Бореля, то оно конечномерно (теорема 1.23).
Пространства H (Q) и С%, упоминавшиеся в п. 1.3, являются бесконечномерными пространствами Фреше, обладающими свойством Гейне—Бореля (п. 1.45, 1.46). Поэтому они не являются локально ограниченными и, следовательно, не нормируемы; это показывает также, что обращение утверждения (а) ложно.
С другой стороны, существуют локально ограниченные /^пространства, которые не являются локально выпуклыми (п. 1.47).
Свойства отделимости
1.10. Теорема. Предположим, что К и С—подмножества топологического векторного пространства X, причем К компактно, С замкнуто и КГ\С = 0. Тогда существует такая окрестность нуля V, что
(K + V)(){C + V) = 0. *
Отметим, что К-\-V является объединением сдвигов X-\-V окрестности V(x?K), и, значит, К-\- V—открытое множество, содержащее К. Таким образом, из теоремы следует существование непересекающихся открытых множеств, содержащих соответственно К и С.
