Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
+ А'к1 (8Л8Ч — 8'л*8яо) + АкА'к12 (К5Ч — 8Ч8“о)> (8С8ф0 — 8'С8(30) + г (8С8'а„ _ 8'С8а0).
*2 С8«*8'“,- — 8“.,-8Ч)
должен обратиться в нуль.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
113
В самом деле, так как виртуальные приращения постоянных произвольны, мы сможем предположить, что все 8а^. обращаются в нуль, за исключением 8ак, а также, что все 8'а. обращаются в нуль, кроме 8'ак. Тогда все члены с ?2 обращаются в нуль, за исключением члена
?2 фа.ко'а.^. — За^.З'аД.
Мы имели бы исключения, если бы существовало соотношение между п — 1 показателями а.у, действительно, более нельзя было бы предполагать, что все 8а^, кроме одного, обращаются в нуль без того, чтобы этот последний сам обратился в нуль.
Теперь имеется четыре члена второго вида, которые дают члены с
г2 (8ак8'ау—8о.8'ак).
Я запишу их для краткости в виде
ФЛ + Ф2Ш2 + ФзШ3 + ФА!
ф разложены по степеням /,., /'. и Ф. Я обозначаю через св4 выражение, которое фигурирует во второй строке таблицы (8): со, выводится из свх перестановкой fk и (»3 ВЫВОДИТСЯ ИЗ (!>! перестановкой fJ и
С04 ВЫВОДИТСЯ ИЗ (Вр если совершить одновременно эти две перестановки.
Для того чтобы исчезали члены с ?2, необходимо и достаточно, чтобы
4>1— Фз“ Фз + (11)
Если это условие выполняется, четыре члена
ФА + Ф2Ш2 + Фз^Э + Ф А
доставят нам в качестве членов с ?
»1 - Фз) *А*А'к [8**8' (А^А'.) - 8'<х,8 (А.А;)] +
+ (ф3 - ф4) (А.А'. [8а .8' {АкА'к) - 8'а .8 {АкА’к)].
Рассмотрим теперь члены четвертого вида, которые мы объединим попарно; пусть
ФА + Ф2“2
— группа из двух членов, где ф, и ф2 разложимы по степеням С и АкА'к, ш1 — выражение, которое фигурирует в четвертой строке таблицы (10), и св2— выражение, получающееся из него перестановкой Ак и А'к и заменой ак на —ак.
8 А. Пуанкаре, т. II
114
Новые методы небесной механики. 111
Для того чтобы исчезали члены с ?2, необходимо, чтобы
^1=^2
и тогда члены с / сведутся к
I3 (АкА'к) 3Ч —3' (АкА'к) 3ао1-
281. Теперь члены с ? разлагаются по степеням С, АкА’к и но вариациям 8, 8' величин а0, ак, С, АкА'к. Нам остается заставить исчезнуть эти члены; я напишу сейчас, что они — нули, когда мы полагаем
С = О, АкАк = Ъ,
не предполагая, разумеется, что 8С, 8'С, аАкА'к, о'АкА'к — нули.
Пусть Вк в нашем инварианте означает то, чем становится коэффициент члена с (8/^7* — 3/*3/Д)> когда мы делаем в нем С = А^^ = 0. Пусть Бк есть то, чем становится коэффициент члена с
/;(8/л8'е-8в87,),
и I), — то, чем становится коэффициент члена с
(офо'в — 8во'Ф).
Мы должны будем иметь тождественно
2 Вк [8<х*8' {АкА'к) - 8'«*8 {АкА’к)\ +
+2 Ок [8 {АкА'к) Ь'а.0 - 8' {АкА'к) 8сс0] + В0 (8С8'<*0 - 8'С8<*0) = 0.
Будем писать для сокращения вместо АкА'к, у0 вместо С и
д (и, и)
вместо
8н8'у — 8и8'и.
Мы получим
2 Я*5 К- Т*) + 2я*д(Т*. ао) + ^о5(То- ао) = °
или же
2 2в* ?-*3 <ь- т.) ?+ 22 °* щ;д ь)+2 5?/(т"' ь)=
Под знаком 2 или 221 индекс к может принимать значения 1,2,..., га — 1, а у — значения 0, 1, 2,. . ., га — 1.
Приравнивая нулю коэффициент при д (т;, чк), находим
Интегральные инварианты и асимптотические решения
115
Приравнивая нулю коэффициент при д (7„, 7у), находим
(12Ьія)
Эти уравнения выражают тот факт, что
^0ЯО^То + 2 (^как о) ^Тк
(13)
есть полный дифференциал.
В уравнениях (12) и (12Ыв) необходимо положить 7у=0, следовательно, йа/йу — постоянные, следовательно, я^. — линейные функции 7; в Действительности, как мы это видели, я могут быть разложены по степеням т, но результат, который мы только что получили, вереи только в том случае, если мы пренебрегаем квадратами 7 и если обрываем разложения я на членах первой степени. Кроме того, В иД — постоянные. Следовательно, выражение (13) является полным дифференциалом полинома второй степени.
Для того чтобы продвинуться дальше, выразим ак не в функции
и, для того чтобы избежать путаницы, обозначим при помощи д производные по новым переменным, а при помощи й — производные по старым. Тогда мы видим, что
есть полный дифференциал, что влечет за собой условия
Если мы знаем соотношения между я и 7, то эти уравнения позволят нам определить коэффициенты В..
То> Ті» ? ? ?> Тя-1’
а в функции
яо> Ті> ? ? ?> ї„-і.
Мы можем выразить 2/?у7- в функции переменных
записывая
Я0> Ті» Ї2> ? ? ?> Тя-1> 2 Дуїу — Е0а0 -(-
116
Новые методы небесной механики. III
Величины Ек будут заданы уравнениями
Б*==В& <14Ыз>
и Е0 можно выбрать произвольно.
Прежде всего необходимо, чтобы уравнения (14) были совместными, что при п^> 3 требует определенных условий
д-\] д-\ъ ' '
Эти условия (15) будут всегда выполнены, поскольку всегда имеется интегральный инвариант
Если имеется несколько интегральных инвариантов, которые не обращаются в нуль тождественно для рассматриваемого периодического решения, то каждому из этих инвариантов должна соответствовать одна система значений коэффициентов В. и
Если уравнения (4) допускают д линейно независимых решений, то можно вычислить соответствующие значения Ек при помощи уравнений (14Ыз), а так как Е0 остается произвольным, мы будем иметь д+1 линейно независимых систем значений коэффициентов В( и Е{.
