Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 К сожалению, этот принцип не всегда еще соблюдается в существующих фактически системах обозначений. Так, в традиционной символике учения о функциональной зависимости знак f(x), смотря по контексту, может обозначать как самое функцию (закон функционального соответствия), так и значение зависимой переменной, соответствующее значению X аргумента. Такая двусмысленность знака f(x) нередко серьезно затрудняет учащихся, начинающих изучать основы математического анализа. (Примечание к русскому переводу.— Ред.)
т
В ряде случаев выгодно использовать два или более различных символа для обозначения одного и того же объекта, но в таких случаях требуется особая осторожность. Обычно лучше всего пользоваться лишь одним символом для обозначения одного объекта и без настоятельной необходимости не применять несколько обозначений.
5. Хорошее обозначение должно легко запоминаться и легко распознаваться. Обозначение должно немедленно вызвать у нас представление об обозначаемом, и наоборот.
Есть простой способ делать обозначения легко узнаваемыми — это применять начальные буквы в качестве символов. Например, в пункте 20 мы использовали г для обозначения скорости (англ.— rate), t—^времени (англ. —time), V —объема (англ.—volume). Мы не можем, однако, пользоваться этими буквами во всех случаях. Так, в пункте 20 нам пришлось рассматривать радиус, но мы не могли обозначить его через г, так как этой буквой обозначалась скорость. Существуют и другие соображения, ограничивающие выбор символов, и есть способы сделать символы легко узнаваемыми. О них речь будет идти ниже.
6. Обозначения будут не только легко ассоциироваться с понятиями, но и окажутся особенно полезными для оформления наших представлений, когда порядок и связь между обозначениями подсказывают порядок и связь между самими объектами. Для того чтобы проиллюстрировать эту мысль, приведем несколько примеров.
(I) Для обозначения родственных объектов в рассматриваемой задаче мы пользуемся буквами, расположенными в алфавитном порядке.
Так, например, для обозначения известных или постоянных величин мы обычно пользуемся начальными буквами алфавита а, 6, с, а для обозначения неизвестных или переменных величин последними буквами алфавита х, у, г.
В пункте 8 для обозначения известных — длины, ширины, высоты параллелепипеда — мы пользовались буквами а, о, с. В этом случае обозначения а, 6, с имели преимущество перед символами /, w> A1, так как эти три величины играли одинаковую роль в решении задачи, что и подчеркивается тем, что для их обозначения использованы буквы, расположенные в алфавитном порядке. Более того, посколь-
1 I1 — первая буква английского слова length — длина, w ~~ width — ширина, H — height — высота. (Примечание переводчика.)
118
ку a, ft, с являются первыми буквами алфавита, они, как мы уже говорили, чаще всего используются для обозначения заданных величин. В каком-либо другом случае, когда эти три величины будут играть разную роль — и важно будет знать, которая из них относится к горизонтальному или вертикальному отрезку, можно предпочесть обозначения /, Wy h.
(II) Для обозначения объектов одной категории мы обычно пользуемся буквами одного алфавита. Для обозначения объектов разных категорий пользуются буквами различных алфавитов. Так, в планиметрии мы часто употребляем:
заглавные латинские буквы Л, В, С,... для обозначения точек,
малые латинские буквы ау fe, с у для обозначения отрезков прямой,
малые греческие буквы а, ?, у> Для обозначения углов.
Для обозначения объектов разных категорий, имеющих какую-нибудь существенную связь между собой, важную для нашей задачи, мы можем пользоваться соответствующими заглавными и маленькими буквами одного алфавита, как, например, Л и а, В и 6 и т. д. Для примера возьмем хорошо знакомые символы для обозначения элементов треугольника:
А, В, С,— его вершины, a, by с, — его стороны, а, ?, у, — его углы.
Обозначая так, мы полагаем, что а — сторона, лежащая против вершины Л, а а — угол при этой вершине.
(III) В пункте 20 выбор букв а, b и х, у особенно удачен в смысле определения характера обозначаемых элементов и выявления связи между ними. Буквы а и Ь подсказывают, что обозначенные ими величины постоянные, в то время как X и у указывают на переменный характер соответствующих величин: а так предшествует 6, как х предшествует у, а это наводит на мысль, что а относится к b так, как х к у. И в самом деле, а и х горизонтальные отрезки, 6 и у — вертикальные и a : b^=x : у.
7. Запись
& ABC^AEFG
означает, что данные треугольники подобны. В современных книгах эта формула указывает на соответствие вершин в том
119
порядке, в котором они записаны: А соответствует ?, B-F и C—G.
В старых книгах это условие о порядке соответствия вершин еще не было введено и читателю приходилось обращаться либо к чертежу, либо запоминать расположение соответствующих вершин.
Современные обозначения намного предпочтительнее старых. Пользуясь современными обозначениями, мы можем делать выводы из формул, не обращаясь к чертежу. Мы, например, можем утверждать, что
