Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
5 Заказ № 2650
129
Самым последним утверждением, об истинности которого мы должны заботиться, является заключение теоремы. Если правилен каждый шаг, в том числе к последний, то все рассуждение истинно.
Манера изложения, которую мы встречаем у Евклида, может быть безоговорочно рекомендована, если нужно детально исследовать ход рассуждений. В частности, если это ваше собственное рассуждение, если оно длинное и сложное, причем вы вступили в ту стадию, когда необходимо провести рассуждение во всех деталях, то вы поступите самым лучшим образом, изложив все рассуждение в евклидовой манере.
Однако евклидова манера изложения не может быть без оговорок рекомендована, если нужно довести до сознания читателей или слушателей некоторое рассуждение, им прежде неизвестное.
Изложение в стиле Евклида может прекрасно выявлять каждую частную деталь,'но оно не вполне подходит, если нужно оттенить главную нить рассуждения. Вдумчивый- читатель без труда убедится в правильности каждого шага, но ему будет весьма трудно уяснить себе источник, цель и внутренние связи всего рассуждения в целом. Причиной этих затруднений является тот факт, что изложение в стиле Евклида часто ведется в порядке, прямо противоположном тому, в котором рассуждение было первоначально придумано. (Изложение в стиле Евклида строго следует «синтетическому» порядку; см. Паи п, особенно пункты 3, 4, 5.)
4. Подведем итоги. Изложение в стиле Евклида, неумолимо ведущее нас от данных к неизвестному и от предпосылки к заключению, превосходно подходит для детальной проверки рассуждений, но оно является далеко не лучшим, если нужно выпукло и доступно разъяснить главную нить рассуждений.
Очень желательно, чтобы учащиеся проверяли свои рассуждения по способу Евклида, следуя от данных к неизвестному и испытывая каждый шаг, но не следует педантично навязывать этот стиль. Не очень хорошо, если учитель многие доказательства излагает в чисто евклидовой манере, хотя изложение в стиле Евклида может оказаться очень полезным впоследствии, после того, как учащиеся под руководством учителя с возможно большей самостоятельностью проследили главную линию доказательства. Нужно признать
130
удачным стиль некоторых учебников, в которых предварительно очерчивается главная идея, причем большая роль отводится интуиции, и лишь затем в стиле Евклида излагаются детали.
5. Желая убедиться в истинности своего утверждения, добросовестный математик пытается усмотреть его интуитивно, а затем дать формальное доказательство. Ясно ли вам, что оно правильно? Сумеете ли вы доказать, что оно правильно? Добросовестный математик действует здесь подобно опытной покупательнице, пришедшей в магазин. Желая убедиться в качестве ткани, она сначала разглядывает ее, а затем пробует на ощупь. Интуитивное чувство и логическое доказательство — это два различных способа познания истины, которые можно сравнить с двумя способами восприятия материального предмета — зрением и осязанием.
Интуиция может значительно опередить формальнологическое доказательство.
Любой вдумчивый учащийся, не обладающий никакими систематическими познаниями в стереометрии, усвоив соответствующую терминологию, без труда увидит, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (прямые могут и не лежать в одной плоскости). Однако дока" зательство этого утверждения, изложенное в девятом предложении книги II «Начал» Евклида, требует долгих, тщательных и искусных приготовлений.
Но другой раз формальное оперирование правилами логики и алгебраическими формулами может значительно опередить интуицию.
Почти каждый сразу увидит, что три случайным образом расположенные прямые делят плоскость на семь частей (рассмотрите конечный треугольник, образованный этими прямыми). Едва ли кто-нибудь способен усмотреть, даже напрягая свое внимание до предела, что пять случайным образом расположенных плоскостей делят пространство на двадцать шесть частей. Однако может быть строго доказано, что этих частей будет именно двадцать шесть, причем доказательство не оказывается даже трудным или длинным.
Осуществляя наш план, мы проверяем каждый шаг. Для проверки мы либо пытаемся увидеть правильность этого шага непосредственно, интуитивно, либо пользуемся некоторыми формально-логическими правилами. Иногда впереди оказывается интуиция, иногда — формальные рассуждения.
5*
131
Интересное и полезное упражнение состоит в том, чтобы воспользоваться обоими способами. Ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен} Да, я вижу это ясно и отчетливо. Интуиция оказалась впереди; сможет ли формальное рассуждение догнать ее? Сумеете ли вы доказать, что он правилен?
Попытка формально доказать то, что усмотрено интуитивно, и увидеть интуитивно то, что доказано формально,— это прекрасное упражнение для развития интеллекта. К сожалению, при классных занятиях для него не всегда остается достаточно времени. Сказанное можно иллюстрировать примером, рассмотренным в пунктах 12 и 14.
Папп, знаменитый греческий математик, живший предположительно около 300 г. нашей эры, в седьмом томе своего «Математического сборника» говорит об отрасли науки, названной им avaXuojjisvo;. В переводе мы можем передать это название или как «Сокровищница анализа», или как «Искусство решать задачи», или даже как «Эвристика». Последнее название кажется нам наиболее подходящим. Хороший перевод отчета Паппа имеется на английском языке \ Ниже дается свободное изложение текста оригинала:
