Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагается, что читателю не известен смысл определяемых терминов (парабола, ее фокус, ее директриса). Однако предполагается, что ему известен смысл всех других терминов (точка, прямая, плоскость, расстояние между двумя точками, геометрическое место и т. д.).
1 Взгляд на эти понятия претерпел со времен Евклида существенные изменения. Евклид и его последователи в античной Греции определяли точку, прямую и плоскость. Однако их «определения» едва ли являются логическими определениями; это, скорее, лишь известного рода интуитивные иллюстрации рассматриваемых понятий. В преподавании такие иллюстрации, конечно, допустимы и даже желательны. (Примечание автора.— Ред.)
122
2. Определения, приводимые в толковых словарях, внешне мало отличаются от математических определений, но принцип их составления совершенно иной.
Составителя словаря интересует прежде всего общепринятый смысл слов. Этот общепринятый смысл принимается им как нечто известное и облекается им в форму определения.
Математика не интересует общепринятый смысл некоторого специального термина (во всяком случае, не это интересует его в первую очередь).
Для него довольно безразлично, что могут в обычной речи означать «окружность», «парабола» или любой другой специальный термин подобного рода. Математическое определение создает смысл математического термина.
3. Пример. Построить точку пересечения данной прямой и параболы, заданной своим фокусом и директрисой.
Наш подход к любой задаче должен зависеть от состояния наших знаний. Подход к только что сформулированной задаче зависит главным образом от того, насколько мы знакомы со свойствами параболы.
Если нам известно много фактов относительно свойств параболы, мы пытаемся извлечь пользу из наших сведений: Не знаете ли вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной?
Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Если наши сведения о параболе, фокусе, директрисе довольно скудны, то эти термины скорее сбивают нас с толку. Мы, естественно, хотим освободиться от них. Но как можно от них избавиться? Прислушаемся к диалогу, происходящему между учителем и учащимся, которые заняты поисками решения задачи о пересечении прямой и параболы.
Они уже выбрали подходящие обозначения: P — какая-нибудь из искомых точек пересечения; F—фокус; d — директриса, с — прямая, пересекающая параболу.
«Что неизвестно?»
«Точка Р».
«Что дано?»
«Прямые с, d и точка Р». «В чем состоит условие?»
«Р есть точка пересечения прямой с и параболы с фокусом F и директрисой d».
«Правильно. Вам не приходилось, как мне известно, много заниматься изучением свойств параболы, но, вероятно, вы сможете объяснить, что же такое „парабола"?»
123
«Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы».
«Верно. Вы правильно сформулировали определение. Но этого мало; нужно его использовать. Вернитесь к определениям. Что вы можете сказать об искомой точке Р, опираясь на определение параболы?»
«Р лежит на параболе. Поэтому P равноудалена от d и от F».
«Прекрасно. Сделайте чертежЬ
Ученик проводит на чертеже (фиг. 17) отрезки PF и PQ, причем PQ есть перпендикуляр, опущенный из P на d.
«Нельзя ли теперь иначе сформулировать задачуЪ...
«Не могли бы Вы сформулировать задачу по-иному, используя отрезки, которые только что построены?»
«Р есть такая точка прямой с, что PF=PQ». d Q «Хорошо. Но объясните
словами: что такое PQ?» Фиг> 17' «Расстояние точки P от пря-
мой d».
«Верно. Теперь-то вы, очевидно, сможете сформулировать задачу по-новому. Но, пожалуйста, тщательно, при помощи законченного предложения».
«Найти точку Р, лежащую на данной прямой с, равноудаленную от данной точки F и данной прямой d».
«Сравните первоначальную формулировку задачи и новую формулировку. Первоначальная формулировка была полна незнакомых специальных терминов, таких, как «парабола», «фокус», «директриса»; она звучала немного напыщенно и высокопарно. Теперь не осталось и следа от этих незнакомых специальных терминов; вы устранили их из формулировки задачи. Прекрасно!»
4. Исключение специальных терминов явилось результатом работы, описанной в предыдущем примере. Отправившись от формулировки задачи, содержавшей некоторые специальные термины (парабола, фокус, директриса), мы в конце концов пришли к новой формулировке, свободной от таких терминов.
Чтобы устранить из формулировки задачи некоторый специальный термин, мы должны знать его определение.
124
Однако одного этого знания мало; определение нужно использовать.
Так, в предыдущем примере недостаточно было вспомнить определение параболы. Решающий шаг состоял во введении отрезков PF и PQ, равенство которых следовало из определения параболы. Это типичный прием. Мы присоединяем к уже имеющимся объектам некоторые новые, выбранные подходящим образом. Пользуясь определением, мы устанавливаем соотношения, связывающие вновь введенные элементы. Если эти соотношения полностью определяют смысл рассматриваемого понятия, это означает, что определение нами использовано. Этим самым мы устранили специальный термин.
