Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 40

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 79 >> Следующая


Приведенные новые задачи представляют некоторый интерес, так как интересными являются новые понятия,введенные в исходную задачу. Более того, последняя задача о расстоянии между двумя точками, заданными своими координатами, оказывается весьма важной, так как понятие прямоугольных координат играет большую роль в математике.

3. Вот другая задача, которая может быть легко решена, если известно решение исходной задачи:

Даны длина, ширина и диагональ прямоугольного параллелепипеда; найти его высоту.

Действительно, существо решения исходной задачи состоит в установлении соотношения, связывающего четыре величины: три измерения прямоугольного параллелепипеда и его диагональ. Если три из этих четырех величин заданы, из найденного соотношения мы можем найти четвертую. Таким образом, мы можем решить новую задачу.

Здесь мы имеем образец, следуя которому из решенной исходной задачи легко получить новые, которые без труда могут быть решены. Для этого достаточно считать прежнее неизвестное данной величиной, а одно из данных считать теперь неизвестным.

Соотношение, связывающее неизвестное и данные, одно и то же в обеих задачах, старой и новой. Если оно найдено

107

при решении одной задачи, оно может быть использовано для решения другой.

Этот прием получения новых задач путем перемены ролей рассматриваемых величин отличается по существу от приема, использованного в пункте 2.

4. Применим другие средства для разыскания новых задач.

Вот естественное обобщение нашей исходной задачи: найти диагональ параллелепипеда, если даны три его ребра, исходящие из конца диагонали и три угла между этими ребрами.

Путем специализации мы приходим к следующей задаче: Найти диагональ куба с данным ребром.

Путем аналогии мы можем получить неисчерпаемое разнообразие задач. Вот некоторые задачи, полученные путем аналогии из задач пункта 2:

Найти диагональ правильного октаэдра с данным ребром.

Найти радиус сферы, описанной вокруг правильного тетраэдра с данным ребром.

По данным географическим координатам — широте и долготе —двух точек на земной поверхности (которая здесь считается сферой) найти сферическое расстояние между ними.

Все эти задачи несомненно интересны, однако лишь одна из них, полученная путем специализации, может быть решена непосредственным применением решения исходной задачи.

5. Из данной задачи можно получить новые, если считать некоторые ее элементы переменными.

Частный случай задачи, рассмотренной в пункте 2, состоит в определении радиуса сферы, описанной вокруг куба с данным ребром. Зафиксируем куб и общий центр куба и сферы, но будем менять ее радиус. При малом радиусе сферы куб лежит целиком внутри сферы. С возрастанием радиуса сфера расширяется (как резиновый шар при надувании). В некоторый момент сфера касается граней куба, затем, позднее,— ее ребер, наконец, в известный момент сфера проходит через вершины куба. Какие значения принимает радиус в эти три критические момента?

6. Математический опыт учащегося нельзя считать полным, если он не имел случая решить задачу, изобретенную им самим.

108

Поэтому учителю следует показать, как из исходной решенной задачи получить новые, этим он возбудит любознательность учащихся. Учащиеся могут участвовать в изобретении новой задачи. Например, учитель может ввести расширяющуюся сферу, рассмотренную выше, в пункте 5, и поставить вопрос: «Что могли бы вы попытаться вычислить? Какое значение радиуса сферы представляет особенный интерес?»

Нельзя ли получить тот же результат иначе?

Если решение, которое мы в конце концов нашли, получилось длинным и громоздким, мы естественно, подозреваем, что существуют другие способы решения, приводящие к тому же результату более ясным и прямым путем.

Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Но даже в случае, если мы удовлетворены найденным решением, получение другого решения все же может представлять для нас интерес. Для нас естественно желание убедиться в истинности некоторого теоретического результата, придя к нему двумя различными путями. Это желание аналогично нашему стремлению воспринять некоторый материальный предмет при помощи двух различных чувств.

Найдя решение, мы хотим найти другое так же, как, увидев предмет, мы испытываем желание дотронуться до него.

Два доказательства лучше, чем одно. Как говорит пословица «надежнее стоять на двух якорях».

1. Пример. Найти площадь S боковой поверхности усеченного прямого кругового конуса, если дан радиус нижнего основания R1 радиус верхнего основания г и высота Л.

Эта задача может быть решена различными способами. Например, нам может быть известна формула для площади боковой поверхности полного конуса. Так как усеченный конус получается отсеканием от конуса другого, меньшего, конуса, то площадь его боковой поверхности есть разность площадей боковых поверхностей двух полных конусов; остается последние выразить через Л, г% k. Произведя соответствующие выкладки, мы получаем формулу:

Получив после более или менее длинных вычислений приведенную выше формулу, мы испытываем желание найти
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed