Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, в рассматриваемом случае решение общей задачи явилось лишь частью решения частной задачи.
(Смотри «Парадокс иссл едовател я».)
3. «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна 10 ж, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м». Если числа 10, 5, 6 мы заменим буквами, например а, 6, /г, мы тем самым обобщим задачу. Мы получаем новую задачу, более общую по сравнению с первоначальной, именно:
«Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна а, сторона верхнего Ь и высота пирамиды h». Подобное обобщение может оказаться очень полезным. Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы приобретаем новые возможности; так, например, мы оказываемся в состоянии смотреть на данные величины как на переменные, что дает нам разнообразные возможности проверки результата.
(См. «Нельзя ли проверить резуль-т а т?», п. 2; «Видоизменение задачи», п. 4.)
Обозначения. Чтобы почувствовать преимущество удачно выбранного и хорошо знакомого обозначения, попытайтесь сложить несколько больших чисел при условии, что
Н5
нельзя пользоваться привычными арабскими цифрами, а можно прибегать лишь к римским цифрам. Возьмите, например , числа МММХС, MDXCVI, MDCXLVI ,MDCCLX XXI, MDCCCLXXXVII.
Трудно переоценить значение математических обозначений. Современные вычислители, пользующиеся десятичным обозначением, имеют значительное преимущество над древними, у которых не было такого удобного способа записи чисел. Современный учащийся, знакомый с обычными обозначениями алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, имеет огромное преимущество перед греческим математиком в решении задач на площади и объемы, задач, на которых упражнялся гений Архимеда.
1. Речь и мышление тесно связаны. Употребление слов развивает мышление. Некоторые философы и филологи пошли несколько дальше, утверждая, что без слов нет мышления.
Однако это последнее утверждение кажется нам некоторым преувеличением. Если у вас есть некоторый опыт серьезной математической работы, вам известно, что можно проделать очень большую умственную работу, не прибегая к словам, а рассматривая лишь геометрические фигуры или пользуясь алгебраическими символами. Фигуры и символы тесно связаны с математическим мышлением; использование их развивает его. Можно было бы уточнить несколько ограниченное утверждение философов и филологов, включая в данное ими определение наряду со словами другие виды символов и формулируя его так: без символов нет мышления.
Во всяком случае, употребление математических символов подобно употреблению слов. Математические обозначения выступают как своего рода особый язык, ипе langue Ыеп falte, язык, хорошо приспособленный к своему назначению, краткий и точный, с правилами, которые в отличие от правил обычной грамматики не терпят никаких исключений.
С этой точки зрения, составление уравнений имеет сходство с переводом, переводом с обычного языка на язык математических символов.
2. Такие математические символы, как +, —, = и ряд других, имеют определенный общепринятый смысл. Другие же символы, как, например, маленькие и заглавные буквы греческого и римского алфавитов, могут иметь разный смысл
116
в различных задачах. Встречаясь с новой задачей, мы должны выбрать определенные символы, ввести подходящие обозначения.
Здесь имеется некоторая аналогия с употреблением обычного языка. Многие слова в различных контекстах имеют различный смысл; когда важна точность, мы должны тщательно выбирать слова.
Выбор обозначений является важным моментом в решении задачи. К нему следует отнестись очень внимательно. Потраченное на выбор обозначений время с лихвой компенсируется тем временем, которое мы сэкономим, избежав путаницы в работе. Более того, тщательно выбирая обозначения, мы будем хорошо разбираться в тех элементах задачи, которые подлежат обозначению. Таким образом, выбор подходящего обозначения может существенно помочь нам понять задачу.
3. Хорошая система обозначений должна удовлетворять следующим требованиям: она должна быть однозначной, содержательной, легко запоминающейся. Она должна исключать «вредные» дополнительные значения и с выгодой использовать «полезные» дополнительные значения. Поря-док и связь между обозначениями должны определять порядок и связь между обозначаемыми объектами.
4. Знаки должны прежде всего иметь определенное значение. Недопустимо, чтобы один и тот же знак обозначал два различных объекта или понятия в одной и той же задаче1. Если, решая задачу, вы обозначили какую-нибудь величину буквой а, не следует в этой же задаче обозначать той же буквой другую величину. Разумеется, в другой задаче можно использовать букву а в другом значении.
Хотя и запрещается использовать один символ для обозначения разных объектов, но можно использовать различные символы для обозначения одного и того же объекта. Например, произведение а на b может быть записано как:
__?X^ a'b и ab.