Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обучение искусству решать задачи есть воспитание воли. Решая не слишком легкую для себя задачу, ученик учится быть настойчивым, когда нет успеха, учится ценить скромные достижения, терпеливо искать идею решения и сосредоточиваться на ней всем своим «я»,когдаэта идея возникает. Если учащемуся не представилось возможности еще на школьной скамье испытать перемежающиеся эмоции, возникающие в борьбе за решение, в его математическом образовании оказывается роковой пробел.
Не встречалась ли вам раньше эта задача? Возможно, мы уже решали прежде предложенную теперь задачу; или мы слышали о ней, или, быть может, мы занимались очень близкой задачей. Никогда не следует пренебрегать рассмотрением этих возможностей. Мы пытаемся вспомнить все то, что может иметь отношение к данной задаче. Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме? Даже отрицательный ответ на эти вопросы может помочь нам активизировать наши знания, связанные с понятиями, содержащимися в задаче.
Вопрос, являющийся заглавием данной статьи, часто понимается в более общем смысле. Чтобы найти решение, мы должны извлечь из нашей памяти нужные сведения, мы должны активизировать ту часть наших знаний, пока пассивно хранящихся в памяти, которая имеет отношение к данной задаче. (См. «Продвижение и достиже-н и е».) Конечно, мы не можем знать заранее, какая часть наших знаний окажется нужной нам; однако существуют некоторые определенные возможности, которые всегда должны быть рассмотрены. Так, может оказаться, что некоторая особенность данной задачи, оказавшаяся прежде существенной при решении другой задачи, снова окажется существенной. Поэтому, если какая-нибудь особенность данной задачи может играть, как нам представляется, важную роль, мы должны попытаться вспомнить, не встречали ли мы подобную особенность прежде, при решении других задач. Что это за особенность? Знакома ли она вам? Не встречалась ли она вам прежде?
105
Нельзя ли использовать полученный резудьтаїг? Если вы собственными силами решили задачу,— вы сделали открытие. Если задача нетрудная, то ваше открытие не может претендовать на грандиозность; однако оно от этого не перестает быть открытием.
Сделав хотя какое-нибудь открытие^ пусть самое скромное, мы не должны упускать случая задать себе вопрос: не скрывается ли за нашим открытием нечто большее? Из полученного результата следует выжать все, что он может дать; нужно также попытаться найти новое применение использованному методу решения. Постарайтесь развить ваш успех! Нельзя ли использовать полученный результат или метод решения в 4<шой-нибудь другой задаче?
1. Имея в качестве отправного пункта решенную задачу, мы можем придумать новые без особого труда, если мы в некоторой степени знакомы с главнейшими средствами видоизменения задачи, такими, как обобщение, специализация, аналогия, разложение и составление новых комбинаций. Отправляясь от данной задачи, мы при помощи этих средств приходим к новым задачам, из этих новых мы в свою очередь получаем производные задачи и т. д. Теоретически этот процесс можно продолжать как угодно далеко, но на практике мы чаще всего принуждены прерывать его на самых первых стадиях. Дело в том, что задачи, к которым мы приходим таким образом, часто оказываются неприступными по своей трудности.
С другой стороны, мы можем придумать много задач, решение которых непосредственно получается из решения ранее решенной исходной задачи. Однако такие задачи чаще всего оказываются неинтересными.
Нелегко найти новую задачу, одновременно интересную и поддающуюся решению; для этого требуются опыт, вкус и удача. Тем не менее, решив какую-либо задачу, всегда следует предпринять поиски новых. Хорошие задачи похожи на некоторые грибы: они растут группами. Найдя один гриб (или задачу), оглянитесь вокруг: вполне вероятно, что вы найдете еще несколько поблизости.
2. Проиллюстрируем сказанное на примере, который мы рассматривали в пунктах 8, 10, 12, 14, 15.
Итак, нашим отправным пунктом является следующая задача:
Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).
106
Зная3 решение этой задачи, мы легко найдем решение любой из следующих (из которых первые две в несколько иной форме рассматривались в п. 14).
Найти радиус сферы, описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда с данными длиной, шириной и высотой.
Основание пирамиды есть прямоугольник; проекция вершины пирамиды на ее основание совпадает с центром основания. Найти боковое ребро, если даны высота пирамиды и стороны основания.
Найти расстояние между двумя точками в пространстве, прямоугольные координаты которых (X1, ух, Z1) и (хг, У„ г%).
Эти задачи легко решить, так как по существу они не отличаются от исходной задачи, решение которой известно. Каждую из них мы получили, введя в исходную задачу некоторые новые понятия, такие, как описанная сфера, пирамиды, декартовы координаты. Эти .новые понятия легко ввести и легко устранить; избавляясь от них, мы возвращаемся к исходной задаче.
