Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 42

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 79 >> Следующая


a2h

правильное значение объема, равное—у.

Мы можем осуществить проверку по размерности. Мы обнаруживаем, что размерность нашего выражения есть куб длины. Далее, мы можем подвергнуть нашу формулу испытанию, изменяя данные величины. В самом деле, при возрастании любой из положительных величин а, о, h возрастает и их функция, выраженная нашей формулой.

Описанным здесь испытаниям можно подвергать не только окончательный результат, но и промежуточные резуль-

112

татьь Эти проверки настолько полезны, что всегда стоят затраченного на них труда (см. «Видоизменение задачи», п. 4). Чтобы получить возможность использовать эти проверки, может оказаться выгодным обобщить задачу «в числах», превратив ее в задачу «в буквах» (см. «О б о б щ е н и е», п. 3).

3. Нельзя ли проверить ход решения? Проверяя шаг за шагом ход решения, нужно избегать простого повторения.

Во-первых, осуществляя простое повторение, мы насилуем свое внимание, ибо мы склонны считать это надоедливым и непоучительным занятием.

Во-вторых, очень вероятно, что там, где мы ошиблись в первый раз, мы при тех же обстоятельствах ошибемся вторично. Если оказывается необходимым снова проделать все сначала шаг за шагом, нам следует по крайней мере изменить последовательность шагов или их группировку, чтобы внести хоть некоторое изменение.

4. Можно сначала выбрать те части решения, которые внушают наибольшие сомнения, и проанализировать их в первую очередь. Выбирая те места решения, которые стоит подвергнуть проверке, полезно задавать себе вопрос: все ли данные мы использовали?

5. Ясно, что наши нематематические знания не могут полностью основываться на логических доказательствах. Наиболее прочная часть наших повседневных знаний постоянно проверяется и подкрепляется повседневным опытом. Проверки при помощи наблюдения производятся наиболее систематически в естественных науках. Эти проверки облекаются в форму тщательных экспериментов и измерений; в физических науках они комбинируются с математическими рассуждениями. Могут ли наши математические знания основываться исключительно на логических доказательствах?

Это философский вопрос, обсуждать который здесь мы не имеем никакой возможности. Однако нет никакого сомнения в том, что ваши знания, так же как мои знания или знания ваших учеников, не основываются лишь на логических доказательствах. Любые глубокие знания, если они есть, покоятся на обширном экспериментальном фундаменте, который расширяется всякий раз, когда результат решенной нами задачи успешно проходит все испытания .

113

Нельзя ли сформулировать задачу иначе?1 Еще иначе? Эти вопросы имеют целью соответствующие видоизменения задачи.

Вернитесь к определениям.

(См. «Определени е».)

Обобщение есть переход от рассмотрения единственного объекта к рассмотрению некоторого множества, содержащего этот объект в качестве своего элемента, или переход от менее емкого множества к более емкому, содержащему первоначальное.

1. Если случайно мы встречаем сумму

1 + 8 + 27 + 64=100,

мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:

1»_|_28 + 33 + 43 = 102.

Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных целых чисел, т. е.

1'_|_28 + 38+...+/Л

оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.

Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения. (См. «Индукция и математическая и н д у к ц и я».)

2. Обобщение часто может помочь решить задачу. Рассмотрим следующую стереометрическую задачу:

«Правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части». Задача эта может показаться сложной; однако достаточно очень небольшого знакомства с формой правильного октаэдра, чтобы прийти к следующему обобщению:

«Замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную пря-

1 Статья содержит исключительна ссылки на другие статьи «Словаря».

114

мукэ и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость, конечно, проходит через центр симметрии поверхности и определяется этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается решенной.

Читатель, конечно, не мог не заметить, что вторая задача была более общей, чем первая, и тем не менее она оказалась проще. Нашим главным достижением при решении первой задачи было то, что мы придумали вторую задачу. Придумав вторую задачу, мы выяснили роль центра симметрии; мы выделили то свойство октаэдра, которое является существенным в данной задаче, именно — наличие у него центра симметрии.

Более общая задача может оказаться проще. Это звучит парадоксально; однако рассмотренный пример убеждает нас в истинности этого утверждения. Главное достижение при решении частной задачи состояло в том, что мы придумали общую задачу. После этого нам осталось совсем немного работы, чтобы довести задачу до конца.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed