Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если данную задачу решить не удается, пусть это не слишком огорчает вас, попытайтесь сначала решить какую-нибудь сходную задачу, с которой вы легче справитесь. Этот успех несколько ободрит вас. После этого вы наверное смелее возьметесь за решение первоначальной задачи. Не забывайте, что превосходство человеческого мышления заключается в том, чтобы обойти препятствие, которое нельзя преодолеть непосредственно, и изобрести какую-нибудь подходящую вспомогательную задачу в том случае, если первоначальная кажется неодолимой.
Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Теперь вам нужно придумать такую задачу, а не просто вспомнить одну из тех, которые вы уже рассматривали, когда задавали себе вопрос: не знаете ли вы какой-нибудь сходной задачи?
В том абзаце нашей таблицы, который начинается с заголовка данной статьи, остаются вопросы, преследующие общую цель — видоизменение задачи.
Для достижения этой цели имеются такие различные средства, как обобщение, специализация, аналогия и другие, представляющие собой различные способы разложения и составления новых комбинаций.
82
Задачи на нахождение, задачи на доказательство. Мы
проведем параллель между этими двумя типами задач.
1. Цель «задачи на нахождение» — определить какой-нибудь элемент, неизвестное задачи.
Неизвестное также называется «quaesitum» или «искомое», или «то, что требуется найти». «Задачи на нахождение» могут быть теоретическими или практическими, отвлеченными или конкретными, серьезными или всего лишь развлекательными головоломками. Искомыми могут быть всевозможные неизвестные. От нас может потребоваться найти, получить, приобрести, произвести или построить всякого рода объекты. В деле об убийстве неизвестное — убийца. В шахматной задаче неизвестное — ход шахматной фигуры. В некоторых загадках неизвестное — слово. В ряде элементарных алгебраических задач неизвестное —» число. В задаче на геометрическое построение неизвестное — фигура.
2. «Задачи на доказательство» имеют своей целью доказать, что определенное четко сформулированное утверждение верно или же неверно. От нас требуется ответить на вопрос: данное утверждение верно или неверно? В заключение своего решения мы должны получить окончательный ответ, доказав справедливость утверждения или его ошибочность.
Свидетель утверждает, что подсудимый был дома в вечер убийства. Судья должен выяснить, соответствует ли это утверждение действительности или нет, и, более того, должен по мере возможности убедительно обосновать свой вывод. Таким образом судье приходится иметь дело с «задачей на доказательство». Примером другой «задачи на доказательство» может служить «доказать теорему Пифагора». Мы не говорим «доказать или опровергнуть теорему Пифагора». Хотя в некотором отношении было бы желательно включить в формулировку задачи и возможность опровергнуть ее, в данном случае можно пренебречь этим желанием, поскольку мы знаем, что вероятность опровергнуть теорему Пифагора довольно незначительна.
3. Главными элементами «задачи на нахождение» являются неизвестное, данные и условия.
Если от нас требуется построить треугольник со сторонами а, Ь и с, то неизвестное — треугольник, данными же являются три отрезка а, Ь и с. Треугольник должен удовлетворять условию, что его стороны равны а, с. Если же
83
мы должны построить треугольник с высотами а, 6 и с, то неизвестное и данные будут предметами той же категории, что и в предыдущей задаче, но условие, связывающее неизвестное с данными, другое.
4. Если «задача на доказательство» является математической задачей обычного типа, то ее главными частями являются предпосылка (hypothesis) и заключение (conclusion) теоремы, которую мы должны доказать или опровергнуть.
«Если в четырехугольнике все стороны равны, то диагонали его взаимно перпендикулярны». Вторая часть, которая начинается со слова «то», является заключением; первая часть, начинающаяся со слова «если»,— предпосылка.
[Не все математические теоремы могут быть естественным образом разбиты на предпосылку и заключение. Так, например, вряд ли возможно таким образом разделить следующую теорему: «Количество простых чисел бесконечно».]
5. Если вы хотите решить «задачу на нахождение», вы должны знать, и при том совершенно точно, ее главные элементы — неизвестное, данные и условия. В нашей таблице представлено много вопросов и советов, связанных с этими элементами.
Что неизвестно? В чем состоит условие? Что дано? Разделите условие на части. Найдите связь между данными и неизвестными. Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. Сохраните только часть условий, отбросив остальные, в какой мере теперь определяется неизвестное? Как можно его варьировать? Сумеете ли вы вывести что-нибудь полезное из данных? Сможете ли вы придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Сможете ли изменить неизвестное или данные, а если необходимо — и то и другое, чтобы новое неизвестное и новые данные стали ближе друг к другу?
