Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод доказательства столь часто используется, что ему следует дать название. Мы могли бы его назвать
4 Заказ № 2650
97
«доказательством от п к или, еще проще, «переходом
к следующему целому числу». К сожалению, однако, для этого метода принят неудачный термин «математическая индукция». Надо сказать, что это название является результатом случайного стечения обстоятельств. Точно сформулированное утверждение, подлежащее доказательству, может быть любого происхождения и с точки зрения логики его происхождение не играет роли. В случае, который мы подробно рассмотрели выше, утверждение возникло, как это часто бывает, на основе индукции. Мы пришли к нему эмпирическим путем. Таким образом, доказательство имеет видимость математического дополнения к индукции. Этим и объясняется название метода.
7. Есть еще один момент, довольно тонкий, но весьма существенный для всякого, желающего самостоятельно находить доказательства. Мы видели выше, что при помощи эксперимента и индукции были найдены два утверждения, одно за другим, из которых второе, рассмотренное в пункте 2, было более точным, чем первое, изложенное в пункте 1. Изучая второе утверждение, мы обнаружили способ проверки законности перехода от я к п+1 и, таким образом, смогли при помощи метода «математической индукции» найти доказательство теоремы. Если бы мы исследовали первое утверждение и пренебрегли бы тем уточнением, которое вносит второе утверждение, вряд ли мы смогли бы найти это доказательство. И действительно, первое утверждение менее точно, менее «определенно», менее «осязаемо», менее доступно исследованию и проверке, чем второе. Переход от первого утверждения ко второму, от менее точной формулировки к более точной был важным шагом, подготовившим окончательное доказательство.
В некотором отношении это парадоксально. Второе утверждение сильнее; оно непосредственно влечет за собой первое, в то время как из несколько «туманного» первого утверждения трудно извлечь кристаллически четкое второе. Таким образом, получается, что легче доказать более сильную теорему, чем более слабую. Это — парадокс изобретателя.
Лейбниц Готтфрид Вильгельм (1646—1716), великий математик и философ, намеревался написать «Искусство изобретения», но не осуществил своего намерения. Однако многочисленные отрывки, разбросанные в его
96
трудах, показывают, что у него были интересные мысли по этому вопросу, и он неоднократно подчеркивал его значение. Так, он писал: «Нет ничего важнее, чем умение найти источник изобретения,— на мой взгляд, это еще интереснее, чем само изобретение».
Лемма означает «вспомогательная теорема». Слово это греческого происхождения, буквальный перевод: «то, что допускается».
Допустим, мы пытаемся доказать какую-нибудь теорему, например Л. Мы приходим к мысли, что для доказательства можно использовать другую теорему, например ?, и что если бы теорема В была справедлива, мы бы могли, пользуясь ею, доказать теорему Л. Мы временно допускаем справедливость теоремы B1 не доказывая ее, и продолжаем доказывать теорему Л. Теорема B1 таким образом, служит вспомогательной теоремой для доказательства заданной теоремы Л. Наше простое объяснение довольно типично и раскрывает значение слова «лемма» в его совремеяном понимании.
Лишние данные (см. Условие)1.
Мудрость пословиц. Решение задач есть неотъемлемая часть человеческой деятельности. В самом деле, значительная доля нашей сознательной деятельности связана с решением каких-нибудь задач или проблем. Когда мы не предаемся мечтам или беспредметным размышлениям, наши мысли направлены к определенной цели, мы стараемся решить какую-нибудь задачу.
Некоторые.достигают своей цели и решают стоящие перед ними задачи с большим успехом, некоторые — с меньшим. Эта разница в успехе подмечается, обсуждается, комментируется, и квинтэссенция таких замечаний как бы сохраняется в некоторых пословицах. Во всяком случае имеется множество поговорок, характеризующих с поразительной точностью типичные лути решения задач, остроумные, основанные на здравом смысле приемы, обычные уловки и обычные ошибки. В пословицах много проницательных и даже тонких высказываний, но, разумеется, они не составляют стройной и последовательной научной сис-
1 Статья содержит исключительно ссылки на другие статьи «Словаря».
4*
99
темы. Многие пословицы могут быть противопоставлены другим, дающим прямо противоположные советы, и вообще возможности толкования пословиц неограничены. Глупо было бы считать пословицы авторитетным источником мудрости, применимым ко всем случаям жизни, но, с другой стороны, жалко пренебрегать такой наглядной иллюстрацией эвристических приемов решения задач, какую нам дают пословицы.
Было бы интересно собрать пословицы, относящиеся к решению задач, и сгруппировать их по разделам: составление плана; изыскание средств; выбор из ряда возможных путей именно того, по которому следует вести решение. Здесь мы можем уделить лишь незначительное место пословицам. Самое большее, что мы можем сделать,—это привести пословицы, иллюстрирующие основные этапы решения задач, нашедшие свое отражение в пунктах 6—14 и других местах. Приведенные пословицы печатаются курсивом.
