Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 31

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 79 >> Следующая


Все ли данные вы использовали?

Все ли условие вы использовали?

6. Если вы хотите решить «задачу на доказательство», то должны знать, и при том совершенно точно, ее главные элементы — предпосылку и заключение. В нашей таблице имеются полезные вопросы и советы относительно этих элементов задачи, но у нас они приспособлены к«за-

84

дачам на нахождение». Соответствующие вопросы, и советы к «задачам на доказательство» будут:

В чем состоит предпосылка? Каково заключение?

Расчлените предпосылку на части.

Найдите связь между предпосылкой и заключением.

Рассмотрите заключение. Постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или подобным заключением.

Сохраните только часть предпосылки, отбросив остальные.

Заключение по-прежнему обоснованно?

Сможете ли вы вывести что-нибудь полезное из предпосылки? Сможете ли вы придумать другую предпосылку, из которой смогли бы легко вывести такое заключение?

Сможете ли вы изменить предпосылку или заключение, а если необходимо и то и другое вместе, чтобы новая предпосылка и новое заключение стали ближе друг к другу?

Использовали ли вы всю предпосылку?

7. «Задачи на нахождение» занимают много места в элементарной математике, «задачи на доказательство» — в высшей. В данной книге «задачам на нахождение» уделяется больше внимания, чем другому типу задач. Однако автор надеется восстановить равновесие при более полном рассмотрении разбираемого здесь вопроса.

Зачем нужны доказательства? О Ньютоне есть такое предание: будучи молодым студентом, он начал изучение геометрии, как в то время было принято, с чтения Евклида. Прочитывая формулировки теорем, он видел, что последние справедливы, и не изучал доказательств. Его удивляло, что люди прилагают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Однако много лет спустя он изменил свое мнение и очень хвалил Евклида.

Эта история может быть достоверной или нет, однако, вопрос остается: зачем нам следует изучать или излагать доказательства? Что предпочтительней: никаких доказательств вообще или доказывать все, или ограничиваться некоторыми доказательствами? А если ограничиваться некоторыми доказательствами, то какими именно?

1. Полные доказательства. Для некоторых логиков существуют лишь полные доказательства. То, что предназначается быть доказательством, не может иметь никаких пробелов, никаких лазеек, никаких сомнений, иначе это

85

не доказательство. Возможно ли в повседневной жизни или в юриспруденции, или в физических науках привести примеры полных доказательств, соответствующих таким высоким требованиям? Едва ли. Таким образом, трудно понять, как нам могла прийти в голову мысль о существовании совершенно полных доказательств.

Мы можем сказать не без некоторого преувеличения, что эту мысль принес человечеству один человек, одна книга, Евклид и его «Начала». Во всяком случае, изучение основ планиметрии и поныне дает нам лучшую возможность осознать идею строгого доказательства.

Возьмем в качестве примера доказательство теоремы: Сумма углов треугольника равна двум прямым. Фигура 14

хорошо знакома большинству из нас и особых пояснений не требует. Через вершину Л проходит прямая, параллельная стороне ВС. Углы треугольника В и С равны соответствующим углам при точке А как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Три угла треугольника фиг- 14* равны трем углам с общей верши-

ной Л, образующим угол в 180э или два прямых угла. Таким образом, теорема доказана. Если ученик прошел школьный курс математики, не постигнув по-настоящему несколько подобных доказательств, он вправе выразить самое крайнее недовольство по адресу своей школы и учителей. В самом деле, необходимо делать различие между более важным и менее важным. Если учащемуся не пришлось ознакомиться с тем или иным частным понятием геометрии, он не так уж много потерял. В дальнейшей жизни эти знания могут не пригодиться. Но если ему не удалось ознакомиться с геометрическими доказательствами, то он упустил лучшие и простейшие примеры точного доказательства, он упустил лучшую возможность ознакомиться вообще с понятием «строгое рассуждение». Без этого понятия у него не будет настоящей мерки, при помощи которой он сможет оценивать претендующие на истинность доказательства, преподносимые ему современной жизнью.

Словом, если школа намерена дать учащемуся понятие об интуитивной аргументации и логическом рассуждении,

86

то она должна предоставить место геометрическим доказательствам1.

2. Логическая система. Геометрия, как она представлена в «Началах» Евклида, не есть лишь собрание фактов, а представляет собой логическую систему. Аксиомы, определения и теоремы представлены там не в произвольном порядке, а расположены в безукоризненной последовательности. Каждая теорема расположена так, что для ее доказательства могут быть использованы предшествующие аксиомы, определения и теоремы. Мы можем сказать, что главное достижение Евклида заключается в умелом расположении теорем, а их логическая система — главное достоинство «Начал».
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed