Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
91
Вопрос, рассматриваемый в этой статье, имеет целью активизацию наших ранее приобретенных знаний (см. «Продвижение и достижение», п. 1).
Существенная часть наших математических познаний хранится в нашей памяти в форме доказанных в свое время теорем.
Поэтому оказывается уместным вопрос: не знаете ли вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Особенно уместен этот Вопрос, если мы имеем дело с «задачей на доказательство», т. е. если нам предстоит доказать или опровергнуть некоторую теорему.
Индукция и математическая индукция. Индукция есть процесс познания общих законов путем наблюдения и сопоставления частных случаев. Методом индукции пользуются все науки, в том числе и математика. Математической же индукцией пользуются только в математике для доказательства теорем определенного типа. Довольно неудачно, что их названия связаны, так как между этими двумя методами почти нет логической связи. Однако некоторая практическая связь все же есть, вследствие чего мы часто пользуемся обоими методами одновременно. Проиллюстрируем оба метода одним и тем же примером.
1. Заметив, что в левой части равенства:
1+8 + 27 + 64=100,
стоят кубы последовательных натуральных чисел, а в правой части квадрат, перепишем его и получим такое интересное равенство:
l» + 28 + 3s + 43=:102.
Отчего это может быть? Часто ли случается, что сумма кубов последовательного ряда чисел есть квадрат какого-нибудь числа?
Формулируя вопрос таким образом, мы уподобляемся естествоиспытателю, который, находясь под впечатлением необыкновенного растения или необыкновенной геологической формации, ставит обобщающий вопрос. В нашем примере такой обобщающий вопрос связан с суммой кубов натурального ряда чисел
18 + 2л + 38+...+/*8.
К этому общему вопросу нас привел «частный случай» п=4.
92
Что же мы можем предпринять для выяснения нашего вопроса? Мы поступим так, как поступил бы естествоиспытатель: исследуем другие частные случаи. Частные случаи, соответствующие я =2, 3, еще проще рассмотренного выше. Случай при п =5 следующий по порядку. Ради последовательности и полноты добавим еще и случай п=\. Аккуратно записывая все эти случаи, точно так же как геолог стал бы раскладывать свои образцы какой-нибудь руды, мы получаем следующую таблицу:
Трудно поверить, что все эти суммы чисел последовательных кубов случайно представляют собой квадраты. В подобном случае естествоиспытатель не очень бы сомневался в том, что наблюдения подсказывают общую закономерность. Общая закономерность чуть ли не доказывается индукцией. Математик высказывается более сдержанно, хотя в глубине души, конечно, думает так же. Он скажет, что индукция настойчиво подсказывает следующую теорему:
Сумма первых п кубов есть квадрат.
2. Таким образом, мы приходим к предположению о существовании замечательной, несколько загадочной закономерности. Почему суммы чисел последовательных кубов должны быть квадратами? Но, как видно, они являются таковыми.
Как поступил бы естествоиспытатель в подобном случае? Он продолжал бы исследовать свое предположение. Поступая так, он может вести свое исследование в различных направлениях. Он мог бы прибегнуть к накоплению дополнительных опытных данных. Если бы мы стали на этот путь, нам нужно было бы проверить следующие по порядку случаи я=6, 7,... .
Естествоиспытатель мог бы также вновь исследовать те факты, наблюдение которых привело его к своему предположению. Он тщательно сравнивал бы их, пытался бы выявить какую-нибудь более глубокую закономерность, или какие-нибудь дополнительные аналогии. Поведем и мы свое исследование в этом направлении.
— 8
— 8 + 27 „8 + 27 + 64
„8 + 27 + 64 + 125
1
9 36
100
225
Iй
З2
б2
102
152
93
Для этого вернемся еще раз к нашей таблице и вновь рассмотрим случаи п=1, 2, 3, 4, 5. Почему все эти суммы кубов оказываются квадратами? Что можно сказать об этих квадратах? Основания этих квадратов равны 1, 3, 6, 10, 15. Что можно сказать о них? Есть ли какая-нибудь более глубокая закономерность, какие-нибудь дополнительные аналогии? Во всяком случае кажется, что их возрастание подчинено какой-то закономерности. Как же они возрастают? Оказывается, что и разность между двумя последовательными основаниями тоже возрастает. В самом деле,
3—1 = 2, 6 — 3 = 3, 10 — 6 = 4, 15—10 = 5.
Закономерность возрастания этих разностей бросается в глаза, и мы подмечаем удивительную аналогию в основаниях этих квадратов. Мы находим замечательную закономерность ряда чисел 1, 3, 6, 10, 15;
1_" 2,
3 = 6 = 10 = 15 =
.2 + 3 + 4, •2 + 3 + 4 + 5.
Если эта закономерность имеет общий характер (а трудно поверить, что это не так), то теорема, которую мы предположили справедливой, принимает более точную форму, а именно: для л=1, 2, 3,...
1» + 23 + 33 + ... + я3 = (1+2 + 3 + ... +я)2.
3. Изложенная закономерность была обнаружена при помощи метода индукции. Весь ход рассуждений, правда, несколько односторонний и несовершенный, но во всяком случае правдоподобный, дает нам представление об этом методе. Индукция пытается раскрыть закономерности и связи, скрытые за внешними явлениями наблюдаемого. Ее наиболее известные средства — обобщение, специализация и аналогия. Попытка обобщения возникает из усилия понять наблюдаемые факты. Основана она на аналогии, а проверяется дальнейшими частными случаями.
