Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Евклидова геометрия — не просто одна из логических систем. Она является первым и величайшим примером такой системы, которой другие науки пытались и все еще пытаются подражать. Следует ли другим наукам, в особенности таким далеким от геометрии, как психология и юриспруденция, подражать строгой логике Евклида? Вопрос этот спорный, но обсуждать этот вопрос со знанием дела может лишь тот, кто знаком с системой Евклида.
Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы.
Словом, если школа хочет дать учащемуся понятие о логической системе, она должна предоставить место геометрическим доказательствам.
3. Мнемотехническая система. Автор не считает, что идеи интуитивной аргументации, строгого рассуждения и логической системы излишни для кого бы то ни было. Однако бывают случаи, когда изучение этих идей не считается совершенно необходимым ввиду недостатка времени или по каким-либо другим причинам, но даже и в этих случаях желательно изучать доказательства.
1 Это замечание Д. Пойа весьма характерно для постановки преподавания геометрии в американской средней школе с господствующим в ней сильным ущемлением дедуктивного аспекта этой дисциплины. Последние годы, правда, американские математики (и среди них автор настоящей книги)возбуждают вопрос о пересмотре указанной установки, видя в ней одну из главных причин низкого математического уровня основной массы выпускников американской средней школы. (Примечание к русскому переводу. —Ред.)
87
Доказательства обеспечивают бесспорность сведений, и тем самым укрепляя логическую систему, они помогают нам закрепить в своей памяти разнообразные элементы связной системы. Возьмите случай, разобранный выше (фиг. 14). Из чертежа ясно, что сумма углов треугольника равна 180°, чертеж связывает этот факт с другим фактом, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. А связанные факты интереснее и лучше запоминаются, чем изолированные. Таким образом, чертеж фиксирует эти две связанные геометрические теоремы в нашей памяти и в конце концов чертеж и теорема становятся неотъемлемой собственностью нашего сознания.
Теперь рассмотрим случай, когда приобретение общих понятий не считается необходимым, а желательно лишь накопление определенных сведений. Даже в этом случае сведения должны преподноситься в какой-то связи или системе, поскольку изолированно они усваиваются с трудом и легко забываются. В этом случае желательна любая связь, которая просто, естественно и прочно объединяет все сведения. Такая система не обязательно должна быть основана на логике; она должна лишь эффективно помогать памяти. Она должна представлять собой то, что называется мнемотехнтеской системой. Но даже с точки зрения мне-мотехнической системы доказательства, в особенности простые, могут быть полезны. Например, учащийся должен заучить сведения о сумме углов треугольника и о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых. Может ли быть другой прием проще, естественнее шщ эффективнее, чем чертеж 14?
Словом, даже когда общим логическим понятиям не придают особого значения, доказательства могут быть полезны как мнемотехнический прием.
4. Система поваренной книги. Мы рассмотрели преимущества доказательств, но мы, конечно, не ратовали за то, чтобы все доказательства были даны «in extenso»1. Наоборот, есть такие случаи, когда это вряд ли возможно. Таким важным случаем является преподавание дифференциального и интегрального исчисления студентам инженерных факультетов.
Чтобы преподнести это исчисление в соответствии с современным уровнем математической строгости, необходимо
in extenso (лат.) — полностью. (Примечание переводчика.—Ред.)
88
изложить довольно сложные доказательства, не лишенные известных тонкостей. Но инженерам исчисление нужно для его практического применения. У них нет ни времени, ни подготовки, ни интереса к тому, чтобы преодолеть длинные доказательства и оценить по достоинству все тонкости. В результате этого появляется сильное искушение опускать вообще все доказательства. Однако, поступая таким образом, мы сводим исчисление до уровня поваренной книги.
Поваренная книга подробно описывает составные части блюда и как его стряпать, но не обосновывает свои предписания и не приводит доводов в пользу своих рецептов. Чтобы узнать, каков пуддинг, надо его отведать. Поваренная книга отлично служит своим целям. И действительно, ей не нужно никаких логических или мнемотехнических систем, поскольку рецепты записаны или напечатаны, а не держатся в памяти.
Едва ли автор учебника дифференциального и интегрального исчисления или преподаватель колледжа смогут оправдать свое назначение, если они будут близко следовать системе поваренной книги. Если обучать приемам работы без доказательств, то такие немотивированные приемы поняты не будут. Правила без их обоснований лишаются взаимной связи и быстро забываются. Математику нельзя «попробовать» в том смысле, в каком пробуют пуддинг. Если всякие рассуждения исключить, курс исчисления может легко превратиться в бессвязную опись неудобоваримых справок.
