Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы воздерживаемся от дальнейших замечаний о методе индукции, относительно которого среди философов имеются большие расхождения во взглядах. Но следует добавить, что многие математические результаты были сначала получены методом индукции и лишь позднее доказаны. Мате-
94
матика, основанная на строгих доказательствах своих положений, есть наука дедуктивная и систематическая. Но в процессе становления математика складывалась как экспериментально-индуктивная наука.
4. В математике, как и в естественных науках, для открытия общих закономерностей мы можем пользоваться как непосредственными наблюдениями, так и методом индукции. Но между ними есть и разница. В естественных науках нет более высокого авторитета, чем результат наблюдений и метод индукции, а в математике такой авторитет есть. Это — строгое доказательство.
Проделав некоторую экспериментальную работу, полезно изменить свою точку зрения. Будем рассуждать стро-
a b
Фиг. 15
го. Пусть мы открыли интересное явление. Но рассуждения наши были лишь правдоподобными, экспериментальными, предварительными, эвристическими. Постараемся установить закономерность этого явления путем строгого доказательства.
Таким образом, мы приходим к следующей «задаче на доказательство»: доказать или опровергнуть утверждение, сформулированное в пункте 2.
Предварительно несколько упростим его. Нам должно быть известно, что
1 + 2 + 3+...+/. = 5^-
Во всяком случае это соотношение легко проверить. Возьмем для этого прямоугольник со сторонами п и п+1 и разделим его на две половины ломаной линией так, как показано на фигуре 15,а, на которой изображен случай я=4.
Каждая из половин имееет «лестницеобразную форму». Площадь ее выражается числом 1+2 + ...+/1. При /г=4 она равна 1 +2+3+4 (см. фиг. 15,fc). Поскольку вся площадь
95
прямоугольника равна п{п+1), а площадь лестницеобраз-ной фигуры равна половине площади прямоугольника, следовательно, вышеупомянутая формула справедлива.
Теперь результат, полученный нами методом индукции, можно представить в таком виде:
5. Если мы не представляем себе, как доказать справедливость этого равенства, то мы по крайней мере можем проверить его. Для этого рассмотрим следующий случай, который не проверялся еще нами, случай, когда я=6. При' этом значении п формула дает:
1+8 + 27+64+125 + 216=(?^)2.
Вычисление подтверждает правильность равенства, поскольку обе части равны 441.
Мы можем более эффективно проверить справедливость нашей формулы. Она, вероятнее всего, выражает общую закономерность, т. е. справедлива при всех значениях п. Будет ли она справедлива и тогда, когда мы переходим от значения п к следующему значению я+1? Наряду с формулой, приведенной выше, мы получим в таком случае и следующую:
1* + 2* + 33+... +л* + {n+iy=^ + l)^ + 2^\
Теперь имеется очень простой способ проверки. Вычитая отсюда равенство, приведенное выше, мы получим:
(я +1)' = [(* + 1^ + ?]2 - [«i^bi)] \
Это равенство уже легко проверить. Правую часть можно записать в таком виде:
(+)2 [(" + 2)2 - я'] = (+) V + 4« + 4 - «¦], (?+1)!(4я + 4) = («+1)»(й + 1) = (я+1)'.
Наша формула, выведенная экспериментально, прошла решающую проверку.
Давайте уясним себе, какое значение имеет эта проверка. Вне всякого сомнения, мы удостоверились, что
(я+ 1)'= |> + iH*+2)j'_ p_H)J =
96
Мы все же еще не знаем, справедливо ли равенство !» + 2' + 3^+ ... +и'= ["(" + 1)]8-
Но если бы мы знали, что оно действительно справедливо, мы могли бы вывести отсюда, путем сложения его с уже установленным равенством, что соотношение
1» + 2' + 3' + ...+«' + (й + 1)'=[(-^±1^+2)]г
также имеет место. Но ведь мы знаем, что наше предположение справедливо при /1=1, 2, 3, 4, 5, 6. На основании только что сказанного, наше предположение, будучи справедливым при п=6, должно быть также справедливо при п=7. А поскольку оно справедливо при п=7, оно также справедливо при п=8, поскольку оно справедливо при п=8, оно справедливо при п=9 и т. д. Таким образом, теорема, сформулированная в пункте 2, справедлива при всех значениях п, и тем самым доказано, что она справедлива вообще.
6. Приведенное доказательство может служить образцом для многих подобных случаев. Каковы его существенные черты?
Утверждение, которое требуется доказать, должно быть предварительно и четко сформулировано.
Утверждение должно зависеть от целого положительного числа п.
Утверждение должно быть достаточно «определенным» для того, чтобы у нас была возможность продерить, остается ли оно верным при переходе от числа а к следующему целому числу п+\.
Если нам действительно удастся проверить это, то мы сможем, используя свой опыт, приобретенный в процессе проверки, прийти к заключению, что наше утверждение должно быть справедливо для п+1, если оно справедливо для п. Как только нам удастся это установить, нам уже достаточно знать, что утверждение верно для числа лг= 1; тогда оно верно и при м=2, м=3 и т. д. Переходя от любого целого числа к следующему, мы доказываем общность нашего утверждения.
