Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
^=4+4*/" 4+т)2 -1=\{2k+1 ± V(2k+1)2 - ш)-
Прежде всего мы видим, что должно быть (2k -j- I)2 — 16 >0; значит, для & исключаются значения k = 0, k = l, k = — \, k = — 2. Далее, мы видим, что tgx будет рациональным числом, если (2& +1)2 —16 будет точным квадратом. Полагая 2k-{-I= a, (2?-f-1)2— 16 = b2 (Ь — целое число), будем иметь а2 — Ь2 = 16. Это уравнение (одно уравнение с двумя неизвестными) надо решить в целых числах, причем а должно быть нечетным. Для решения положим а — b = и, a-\-b =v\ тогда получим uv = 16. Если а и b — целые числа, то и и v -г- тоже целые. Таким образом, задача будет решена, если мы решим последнее уравнение в целых числах и выберем те решения, которые дают для а и b целые значения и притом с нечетным а. Уравнение uv = 16 имеет в целых числах следующие десять решений: U1 = 1, Vi = 16; U2 = 2, V2 = 8; и3 = 4, V3 = 4; и4 = 8, V4= 2; и5 = 16, V5 = 1; U6 = —¦I, V6 = — 16; U7 = — 2, V1 = — 8; U8 = — 4, V8 = — 4; U9 = — 8, V9= — 2;
U10 = — 16, Vi0 = — 1. Так как а = V- , b = V ^ и и а нечетное, то из этих
решений нам годятся только следующие: u2v2) U4V4) u7v7) u9v9, откуда а = 5 или а = — 5. Но если а = 5, то k = 2, а если а = — 5, то k = — 3. Подставляя k = 2
I _ 5 + 3
в соотношение tg X = (2k + 1 ± V(2k + I)2 — 16), получим tg X = —=— или
tgx = 2, tgx= Последнее значение tgx = ^ не удовлетворяет начальному уравнению, но tgx = 2 ему удовлетворяет. Отсюда х = kiz -f- arc tg2. При ? = — 3 получим tgx = "~ 3 > откуда tg* = — 2 и tgx = —Опять tgx==—
куда
Ответы. § 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
713
данному уравнению не удовлетворяет, a tgx = — 2 удовлетворяет, откуда X = /гтс — arc tg 2. Итак, решения данного уравнения следующие:
# 2k+ \ ±У(2/г + 1)2 — 16 х = -п-\- arc tg--Г--^—J—^--,
где п — любое целое число, a k — любое целое число, кроме k = 0, k" = 1, & — — 1, k = 2, k = — 2 и k = — 3. Корнями данного уравнения являются еще следующие
значения х: х = k~ ± arc tg 2, где & — любое целое число. 10, &тс, kr.— — . 11. 2Ы±а±% 12. (3*±1)|-. 13. 2**+-. 14. ** + -*-, 15. ^±|-.
16,
. Щ- + (—1 )/г \ arc sin (4-2 |Лз). 17. 2/гтс + 2 arc tg ~ , 2&т: f 2 arc tg -I.
18. Arc 4 (—1)* arc sin ~ . 19. (2k + 1) ~ . 20. 2k ± i- arc cos ~ , 2? ± i-,
2k + 1 ± I arc cos ^r-. 21. Корней нет 22. Ы ± ~ , &тс ± 23.^+-^-,
tj; 10 r 3 b 4 48
28. ^3"+J- 29. (2?+1)-1. ЗЭ. (4k ± I)7J-. 31. ?~ + у, 32. Ля,
33. |(2,+ 1). 2(2*+,), 34. *, 12^ ^ "__*+_«, !^±3-,
10/% + 4 10* + 6 10& + 7 10*+ 8 10*4-9 0_. , 1Ч тс
- ' - ~ 1 тс. 3d. (2& + 1)
10 ' 10 10 " 10 " 10 ' ' v 4 *
36. kr. ± 1 arc cos у . 37. +j> 38. (2k + 1) ~, ?тс ± ~. 39. ~.
A,kl" V Tl T" TC
40. ^g-I ±~, 2?тс ± g-. 41. (2/?+1)тс, 2UTC-^. 42. 2&тс ±-g-. 43. (2? + 1)тс,
2&TC ,TC /стс TC , , r. л- , /4, , n л kn h nt ,TC
-3- + -5-. 44. ** + ¦?. 45. kiz, (4k+l)j. 46. -g-. 47. -^- , 2&тс ± ~.
48. 2?~, kn + ~. 49. (2k+ 1)тс, 2?т; + |. 50. ~. 51. 2&t: ± J. 52. ^Лтс —
53-TT-M'X + f 54.2^,2^ + f. 55. 2^±^,(2.+ l)|,2^?rf, 2** + ^. 56. 2*7= +2*tc + J, **+J. 57.-+(-1)^, Ы + ~.
58. *tc+ -^ 4 (—1)A aresin J^?-. 59. &тс ± ¦I arc cos [ tg — . 60. Если tg а = О, то предложенное соотношение — тождество. Если tga Ф 0, то х = -| + (2* + 1) J.
61. 4?тс, 4?л±-|, 4&тс± 62. 2.Sf:, 2Ы + ~. 63. Если a = 2kizy где /г — любое целое число, то данное уравнение является тождеством. В остальных случаях
корни X = 2/гтс ил: = 2&тс + а. 64. /гте ± arc sin |/~3 , ± arc sin]/^^—— .
65. "g"» д- • o?. Iog2-—--—- , где k — любое целое число такое, что выра-
^ Зтс TC
жение под знаком логарифма положительно. 67. 2/гтс + -g-, &тс. 68. &тс + , 2&тс ± J. 69. (3 + 4?)тс, 2/гтс+ (-1)* J. 70. 2/гтс, 2/гтс - (-1)* |-.
71. /гте +1 arcsin (Y"3- 1), 2^ + 1 ти — і- arc sin (/3- l). 72. Ы ± | , Ы ± -|.
212. (-1)«! arcsin|- + ^. 213. -^- ± 1 arc cos і-. 214. 4 arc tg 8 + 4b;.
3 3 7 / 3~ 1
215. Tj (/% + 1) тс — — arc ctg-jg-. 216. тел ± arc cos у -g- . 217. тся ± arc sin ^==-•
714 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
218. A«±arctgVr10. 219. Ы± arc ctg j/"-^- • 220. (4k + 1) | _ 1, (4k + 1) - — |. 221. 2*±1__^ 222. J+AB> AA_arctgl. 223. ft + I, * + ^. 224. *+I i4±l. 225. *, 226. *. 227. J (* + , (2* + 1) J + JL.
228. л: — произвольное число, не равное k-\~~. 229. (4&-[-1)~. 239. &тс.
Z о
231. ~ + (-1)* ~ arc sin (У1 - 1). 232. 2Ы ± JL . 233. (2A + 1) ~. 234. ^, где ? — произвольное четное число, некратное 15. 235. (2^-fl)-^-—:!L 2&7с~.
о Io 6
236. Полагая sin2 ^ — х^ = и, cos2 {^L — x^ = v, получим 1, и5 -f- v5 = а.
