Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Находим: (ы + г/) (ы4 — w3v + w2v2 — uv3 -f г;4) = a, ы4 + 2«2v2 -f и4 — 2w2v2 -f + u2v2 — (и2 + 2wv + и2 — 2 wir) = а, (и2 + v2)2 — u2v2 — uv (1 — 2uv) = a,
(l—2uv)2 — u2v2—uv + 2u2v2 = at 5 (wv)2—5wv + 1 =0, uv = ~\A ± |/~1 + 4g j. Имеем две системы:
w-j-v== 1,
^ -f V= 1,
»4('Y?)-
Решения первой системы мнимые. Решения второй ~- ?l ± |/^2|/^i-~^--1.
Исследование, а) 1 + Aa > 0, а > — ~ ; б) "j/" * —-1 > 0, откуда а > Y.
в) 1 + }/^2 — 1 < 2, откуда а < 1. Итак, -~ < а < 1. При этих усло-
виях sin2 X^j= ~ \l ± }/~2 |/~-
1 + 4а
значит, X = Ы -f- -g- ±
± arc sin j/^Y (1 ± 1^2 j/" —— 1 j - 237. 2?тс — arc tg ~ . 233. Корней нет. 239. 11 корней. 240. Если а < — 4 — 2У"Ъ, то х = /гтс + (--1)A arc sin X
X-2(д— 1)-' ЄСЛИ A > 2" то "* ^ + arc s'n-2(0--1)-;
при всех остальных значениях а решений нет. 241. х = 4р + -g- (~-l)A arcsin ^,
где & — любое целое число, an — любое целое число, кроме я = О и я = — 1, и
&ТС 1 4 тс
еще л: = -g1 + у arc tg ^ ^ , где & и я —- любые целые числа. 242. m = ,
1 2
* = ? ± -гт. 243. л: = 1 , Л1_ , где k — любое целое число. На данном сегменте о і л 4k
уравнение имеет 250 корней. 244. Данное уравнение эквивалентно следующей смешанной системе: т2 (cos х — sin х)2 = 1 -f sin х cos х, т (cos х — sin х) > 0 или m2 — 1
sin 2х =-y~ * т (cos х ~~ sin х) °- Условие существования решения
m2_ I I 1
—-1 <-г < 1, откуда \ т | > . Предполагая ! m | > -^-, обозначим через а
Ответы. § 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
715
Г « «1 о . т2— 1 угол, расположенный на сегменте —g"' "2"J ' такои' что sin а ^-F' тогда
да2+і ¦
sin 2х = sin а; значит, х = ~ + ?тс, * = ~ — ~ + ?тс. Так как — ~ < а < , то —?L ^ JL ^ ~, Окончание дуги ~, следовательно, расположено на дуге PQ тригонометрического круга, а окончание дуги — —-у —на дуге PQ'. Пусть М —
окончание дуги ~ и Af-окончание дуги ~— у. Дуги X1 являющиеся решением
уравнения т2 (cos х— sin х)2 = 1 + sin л: cos X1 оканчиваются тогда в точках M и M' и в точках N и AT'. Таковы решения только что указанного уравнения. Если т > О
^b этом случае т > -^j, решение данного уравнения дают дуги, оканчивающиеся в Af и AT'. Если же т < 0 ^b этом случае т < — j, решение данного уравнения
дают дуги, оканчивающиеся в АГ и N. Иначе, если т !> -^-, то л: = 2&тс +
1 . т2—\ 0, . , тс 1 . m2 —1 1
4- arc sin-р, л: = 2&ги +тс + — arc sin-j-* а если /я <— у, то
т2 + -^ + ~2
r»„ . .1 , яг2—1 n, , тс 1 . т2— 1 X = 2&ТС + тс -f- у arc sin-у-, л: = 2kn + -^- — у зге sin ¦-у-.
т2+2 т2 + J
1 TC
Замечание. Если т = ± у, то sin а = — 1, откуда а = —-у Точки Af и Af совпадают тогда с Я, а точки Af' и N' — с P'. Из предыдущего следует, что если I т I > ¦g-, то данное уравнение имеет в интервале (— тс, тс) два корня: при
1 1 . т2—\ * 1 , m»—1 1
т > ~2 = ~2 arc sin-f~ , X2 == — у — у arc sin-j- , а при m < — ^
m2+2 m2 + Y
тс 1 . m2 — 1 , 1 . w2 — 1
— — arcsin-r-, X2 = — тс -f- TT arc sin
1 2&ТС
245. Если т Ф-у-, то или x = 2kr.1 или л: = -j-, где k — любое целое
число. Уравнение обращается в тождество при т = -^. Если т — целое положительное и > 1, то окончание дуг, дающих решение данного уравнения, суть вершины правильных многоугольников с 2т—1 сторонами. 1°. В случае т = 2 будем иметь правильный треугольник, в случае т — 3 — правильный пятиугольник.
2°. а) В случае т = 2, cos х = 1 и cos х= — у. б) В случае т — 3 cos х = 1,
/~5-1 /5 + 1
cos X =-- И COS X =-t-J-.
4 4
3°. Предположим радиус окружности равным 1. Если известен косинус
у /1 _ COS JkT
дуги хг то длина стягивающей хорды будет 2 sin -g-, т. е. 2 у -~- . Для
т = 2 получим / 3. Для т = 3 (для выпуклого пятиугольника) 2J/^ —
і — cos л: ~2
Y 5-1
-9і/ 1 Г 4 У10-2 V 5 У10+ 2/5 — z F -2- ^-§-' для звезДчатого -2—-*
4°. Ответ: 8 cos3 лг + 4 cos2 х — 4 cos х — 1=0. Это уравнение определяет косинусы дуг, начало которых лежит в начале отсчета дуг, а концы — вершины правильного вписанного в окружность семиугольника.
716
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 2. Системы тригонометрических уравнений 1. ^&тс, -^-— &тс^, (-у —Astc, &тс^. 2. Если т + я 0, то
а,, , I т — п ^ а\
Jr = _+^ + arctg^__tgT),
у — -~ — — arc tg -tg — .
^ 2 *\ лг + л s 2/
Если т + л = 0 (т ф О, л ф 0, cos -| ,
то ^J + (2*t1)j, y = f-(2A + D j.
3. X — у = 2A7C ± arc cos ± .
x + y = 2лтс ± arc cos ±
с любым набором знаков (кип — любые целые числа).
4. х = (k + s) тс + — arc cos —+ —
2 2/28'
у ~(k — s)v -I--arc cos
2 .2/2 8'
;с = (& + s) тс + -- arc cos —\~ — — ,
v 2 2/2 8 '
