Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Yk2_і
Частный случай. Если AF =-^-г, то (D) пересекает (P) в двух точках: Cp1 и ср2. Точка О является точкой пересечения касательных к (P), проведен-
/ Yk2_1
ных в точках Cp1 и ср2 !это устанавливается из соотношений AK=-^-г и
._ ?2 _\
АО = -\~^)' Гипербола (L) вырождается в две прямые: OCp1 и Оср2, и имеется
только одна сфера (V) — это сфера с центром О, проходящая через Cp1 и ср2; сферы (S) в этом частном случае состоят из двух пучков сфер, касающихся сферы (V) в точках Cp1 и ф2. Переходим к изучению расположения центра линии (L) относительно точки А и точки /, в которой прямая, сопряженная с (D) относительно (Q), пересекает плоскость (R); мы дадим также новое построение точки О: плоскость (тс) есть плоскость симметрии (D) и (Q); значит, точка / лежит на прямой (А). Так как P и / сопряжены относительно (Q), то сфера с диаметром FI ортогональна (Q). Если G есть середина отрезка FI, то — GF • GI = GQ2 — R2, но GQ2 = GA2 + QA2, поэтому
P2—GA2—QA2 = GF-(TI = (GT + AF) (GA+JT) = GA2+ GA (AF + Tl) + AF-Tl;
отсюда P2 — AQ2 = TF •Al + GA (2GA + TF+ Al); сумма в скобках равна нулю, ибо G — середина FI, значит, AF • AI = R2 — AQ2; но АО = -j- AF, поэтому
_ ?2
АО - AI = —-- (R2 — AQ2). Если окружность (P) мнимая, то пучок (F) имеет
две точки Понселе: O)1 и о>2, и R2 — AQ2 = Au1 • Ло>2, так что АО • AI = —-—j- Au1 • Au2 •
Пусть гомотетия ^A, ^ ^ ^ преобразует O)1 и о>2 в точки ы[ [И о>2, тогда
АО • AI = Аоі'і • A W2 и, значит, О—вторая точка пересечения (А) с окружностью (PdJ о>2) . Если окружность (P) действительна, то R2 — AQ2 — г2 и та же самая гомотетия преобразует (P) в (P'); точка О есть точка прямой (А), сопряженная / относительно (P'). В заключение этого раздела остается найти геометрическое место центров P сфер S (P), ортогональных заданной сфере (Q) [P лежит в данной плоскости (R)] в случае, если сфер (V), указанных выше, не существует. В этом пред-
Yk2_і
положении AF <-?-г < г и, значит, (D) пересекает (P) в двух действитель-
_ _ г2 k
ных точках: M и M'. Далее, AG • Al = г2, откуда AI =-> • _ г > г. Зна-
AF Yk2 —\
k
чит, окружность с центром А и радиусом у~ г пересекает окружность с диаметром AI в двух действительных точках: ср и ср', симметричных относительно (А).
k Yk2_і а®
Положим е = г > 1. Радиус (P) равен Ay--— —, а степень
у k2 — 1 ж k е
точки P [являющейся центром сферы S (P), пересекающей (Q) ортогонально] отно-
е2
сительно окружности (P) равна квадрату радиуса сферы S(P), т. е. k2PH2=-^-^PH2.
Ответы. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ 705
На основании результатов первой части (планиметрия), геометрическое место точек P есть гипербола (E) с фокусами 9 и ср' и эксцентриситетом е. Окружности (а'), по которым сферы (S) пересекаются плоскостью (R)1 не имеют огибающей.
Замечание. Можно доказать, что сферы (S) в случае существования сфер (V) имеют огибающую, общую с огибающей сфер (V). Эта огибающая (Г) может быть рассматриваема как геометрическое место окружностей, в точках которых каждая из сфер (S) касается со всеми сферами (V). В случае, если (H) не пересекает (R), или в случае, когда (D) пересекает (Г), производят инверсию, имеющую полюсом соответственно или предельную точку а) пучка (F), или точку ср пересечения (D) и (F); в этой инверсии (V) переходит в конус вращения с вершиной м (соответственно ср) и, таким образом, сама огибающая (V) может быть рассматриваема как образ конуса вращения в указанной инверсии. Цели (H) касается (R) в точке А или если (D) касается (Г) в точке F, производят инверсию с полюсом А (соответственно Р); (V) есть образ цилиндра вращения в эткж инверсии. Наконец, если (D) не пересекает действительную окружность (F), производят инверсию, полюсом которой является одна из точек пересечения (F) и (А); (V) есть тогда образ тора в этой инверсии. Поверхность (V) называется циклидой Дюпена, и вопрос В, 2° может быть сформулирован так: необходимое и достаточное условие того, что сферы S(P) с центрами, лежащими на плоскости (R) и ортогональными сфере (H)1 имели в качестве огибающей циклиду Дюпена, заключается в том, что или (H) не пересекает (R), или, если (H) пересекает (R) по действительной окружности (F) с центром А и радиусом г, то в том, что прямая (D)
лежит вне сферы с центром А и радиусом -—— г; если же (D) касается этой
сферы, то циклида Дюпена вырождается в две точки: Cp1 и ср2 пересечения прямой (D) со сферой (И).
С. 1°. Плоскость (тс), перпендикулярная (D) и проходящая через V, пересекает (D) в точке F, a (V) — по ее большому кругу (v). Плоскость (R) определяется прямой (D) и прямой (А) плоскости (тс), проходящей через F. Прямая, проходящая через V параллельно (А), пересекает сферу с центром V и радиусом -|-
в точках V и v'. Плоскости (D, v) и (D1 v') пересекают (V) по окружностям (С) и (C'), и соответствующие геометрические места центров PnP' семейств Ф и Ф' сфер с центрами на (R) и касающихся (V) в точках (С) и (С) суть — две гиперболы: (L) и (L'), лежащие в плоскости (R). Всякая сфера Ф ортогональна сфере (H)1 которая в свою очередь ортогональна сфере (V), пересекая ее по окружности (C)1 и аналогично — всякая сфера семейства Ф' ортогональна сфере (H'), которая в свою очередь ортогональна сфере (V), пересекая ее по окружности (С). Центры H и И' сфер (H) и (У) суть точки пересечения прямой (5), сопряженной с (D) относительно (V) с диаметрами сферы (V), перпендикулярными соответственно плоскостям (D1 у) и (D1 v'). Если центр сферы (T) не лежит в плоскости (тс), то радикальная плоскость сфер (V) и (T) пересекает (D) в конечной точке а. Радикальная плоскость (V) и (H) есть плоскость (D1 V)1 а так как эта плоскость проходит через прямую (D)1 то она проходит и через точку а; точка а фиксирована и, следовательно, является радикальным центром сфер (V), (T) и переменных сфер (H) [в зависимости от (R)]; поэтому точка а лежит и на радикальной плоскости сфер (P) и (H)1 которая пересекает (R) по прямой (G)1 проходящей через а; прямая (G) пересекает гиперболу (L) в двух точках: P1 и P2 (действительных или мнимых, совпадающих или нет), являющихся центрами сфер S (P)у касающихся (V) и ортогональных (T). Аналогично радикальная плоскость (T) и (H') пересекают (R) по прямой (C)1 проходящей через a, a прямая (С) пересекает гиперболу (L') в точках P1 и P2, служащих центрами сфер S(P)1 касающихся (V) и ортогональных (T). Если точка T лежит в плоскости (тс) и если радикальная плоскость сфер (V) и (T) не проходит через (D)1 то прямые (G) и (G') будут параллельны (D); наконец, если точка T лежит в плоскости (тс), а радикальная плоскость сфер (V) и (T) проходит через прямую (D)1 то прямые (G) и (G') сливаются с прямой (D).
