Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
мере, одно из чисел а или Ь не равно нулю, то данное уравнение имеет только один
корень X = H—- ; б) если а < 0, 6 <; 0 но, по крайней мере, одно из
V а2 -\- Ь2
чисел а или Ь не равно нулю, то данное уравнение имеет только один корень
X=--- * ; в) если а > 0, 6 < 0 или а < 0, b > 0, то данное уравнение не
У a2 + 62
имеет корней; г) если а = Ь = 0, то данное уравнение не имеет корней.
33.
-1|/~у. 34. 0. 35. 3; 0. 36. -|. 37. Нет корней. 38. Нет корней. 39. —1,
0.1. 40. /2. 41. 1 и 42. ]/" 1^2""1 . 43. ±1. 44. Решение. Строим
последовательность уравнений, каждое из которых есть следствие предыдущего:
arc cos JxI = arc sin 2xt (1)
cos (arc cos IX |) = cos (arc sin 2x), (2)
|*| = /Г=4Г2, (3)
x2 = l — 4x2, (4)
5x2 = 1, (5)
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 72S
Так как в последовательности уравнений (1)—(6) каждое уравнение есть следствие предыдущего, то среди найденных значений одно значение х, а может быть и два могут и не быть корнями другого уравнения; поэтому нужна «проверкам. Так как
1 , 2
arc cos —Z=T = arc sin —^=-, но arc cos
Y 5 Ys
1
YS
= arc cos A_ Ф arc sin
vi ^-^tYf)-
1 1
то X = — —¦==•—не корень; данное уравнение имеет только один корень х =
Ys Yv
отметим, что посторонний корень появился в результате перехода от уравнения (1) к уравнению (2), но при возведении в квадрат обеих частей уравнения (3) посторонних корней не появилось. 45. /3+1. 46. 1. 47. ?тс + ~. 48. (і—?-, —І^Л
4 \ 2 /2/'
(}_ , \. 49. у — любое число из сегмента [0, 11, т. е. 0<!у<;і,
/22/ »
а Л = ^/йГ7. 50. [^1(1 + /3), 1^(1^/3)], [ї^(I-.Y3),
^(1 + /3)]. 51. (1,1). 52.(^,3^7) ^<Л<1. 54.,>1.
55. 0<х<1. 56. 0<х<^-. 57. sin 80° < х < 1.
§ 6. Трансцендентные уравнения
і
1. X = -.- 4- 2kn і arc cos . 2. a=1. 3. a = sinl. 4. x = kn + arc tg3TC. 5. Если 4 ' / 2 is
tc
считать основание логарифма всегда положительным, то а = 2?тс + у,
x==2?tc + -L 6. X= kr. ± arcsin / Jl——. 7. sin а = 2~^yl°g23 . 8. xlt2=± 3 Ig (/2+ /3)
1 тс 2к + 4
± -g- ctg-^, лг3=0. 9. л:= 10 4, где &—любое целое число. 10. Корнем является любое
число, кроме X = "^т~~ их = — * П. * = Ь:+~-. 12. Ar = 23+2lgs2. 13. Ar1=O,
^ 16 і
Ii/T
2 Г 7
, + тс±/тс2—16.10а 1Л_ ^ тс2 те2
Аг2 = — 1. 14. агі,2 = 1§-j- в случае, если 10а <-yg-; если 10a>-jg,
±
уравнение не имеет корней. 15. 1. 16. Ar1 = I, X2 = 2. 17. х = 10 18.
X = (2k + 1) тс, где k — любое целое число. 19. х = 2kiz, х = kn + (—1)* —, где k — любое целое число. 20. X = 2?тс — J-, где k — любое целое число.
11 tc
21. X = ш 22. X= j Ig5 3. 23. Решение, tg (тс arc tg х) = 1, тс arc tg х = — + &тс,
arc tg а' = + k, k — целое число. Так как —J < arctg а < J, то k может при-
нимать лишь следующие значения: k = — 1, k = 0, k = 1; отсюда A1 = — tg ,
1 5 /*Т
X2Z=Xg-^1 дг3 = tg-^-. 24. Данное уравнение имеет 10 корней: A1 = ctg у -g-,
X2 X7
. ,/"13 , ,/~25 . ,/"37 + ,/"49 ,_/"5
= Ctg |/ у , X3 = Ctg j/ у , A4 = Ctg |/ у , A5 = Ctg j/ у , X6 = Ctg у -g- ,
../"ТУ 4 ,/"29" , ,/"4Г + ,/"53
= ctg j/ -^-, A8 = ctg у -у, A9 = ctg у -g-, X10 = ctg у -у.
724 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 7. Исследование элементарных функций
U (-«„-З], [3, +со). 2. (-ос. +со). 3. + ? + + * , Jf + I).
fkn , п Ы , тс \ . .0, „.,.,... Г 2 + /7 4Wn V"7 — 2 1 (тГ+З'Т+г)- 4. (2А«.2(* + 1)Я). 5. [--J.
6. [_ « + ^|+^]. 7. [1, + со), fef^. і]- 8. [2*n_J,2*« + ?.
9-((2Т+Ц)^' (4FHf)- I«.(2*«+t. 2*- + ?. 11. (2*«. 2**+j).
12. jc = где , — любое целое число. 14. Функция, возрастающая в интервале . (— со, + со). 15. ?— у , -g-J — возрастает, ^L-, L-J —- убывает, ?-L, J-J — возрастает, J^-L , ^Lj — убывает. 16. J — L-, L-J — возрастает, J^L t L-J- убывает,
Г тс Зте] Г Зте 5тс] л Г5тс Зте] Г Зте 7тс1
["2 ¦ "j"J — возрастает, _| — убывает, у J — возрастает, ^1-J-
убывает. 17. (—ос,—1] — убывает, [—1, 1] — возрастает, [1, +со) — убывает.
JC
18. (—-со, O] — убывает, [0, + со) — возрастает. 19 и 20. Подстановка tg-g- = ^ и дело сведется к исследованию рациональной функции.
§ 8. Разные задачи
1. 3. 2. - 2 . 3. у=. 4. 4, 5. 5. 6. - j. 7. . 8. ^1-. 9. —^-. 15. ?.
16. — -j-. 17. -j-. 24. sin JC = — 1^10 + 2/ 5 ^ sin я = О предложенное соот-
пе . , . тс \ n_ . ,ло г»-, 8 cos 4jcsin2(45°—4jc) ношение есть тождество. 25. tgx = tg — ±— . 26. ±У 3. 27.-----.
\ 2 4 / sin2 4х
2тс tc
28. JC + у + -г = ,тс, а- =? -g-, у = -д-, -г = тс. 29. 2 корня. 33. 11. 37. п = ± 1; л = ± 2. 41. а) 1 /10 + 2/5; б) -j- V 2 + V*2 + /2+"/?;
в) і ^2» K^2LT7I; г)і/2І7^ Д)
е)0^:ж)0_±і; з)2-/3; и)^їЗрО; к) ; 2/2 2/2 2/2 2/2
л) /б-/3 + /2-2; м) /2-1; н) /2 + 1; о) ~ V2 + /^/1 п)2 + /2-/3-/б. 42.4. 46. 1°. у = ^+g* . 2°. у = -Ш-,
