Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
k І 5 k S
дим X = —~— г., а тогда z = у -|--^— При любом у указанные значения х
k + s
и -г удовлетворяют системе; однако если k-\-s число нечетное, то х = ——— тс
не входит в область определения Xg х и потому следует взять только k + S = 2л, где /г — любое целое число; тогда х = лтс. Точно так же, если k — 5 нечетное, то
R_s
в этом случае z — у = —^— % не входит в область определения tg(z — у), а потому следует взять только k — S = 2т> где т — любое целое число. Итак, х = ш, у — произвольное число, входящее в область определения tg у, z = у + ттс, где тп — любое целое число. Таково общее решение данной неопределенной системы. Подставляя это в третье уравнение tgz = atg(x — у), получим tgy = —?tgy. Если а = — 1, то это тождество и, следовательно, уравнение Xgz = a Xg(X—у) нового ограничения не дает. Если же а Ф — 1, то из уравнения Xg у = — a Xg у находим tg у = 0; значит, у — k2Tz, где k2 — любое целое число. Тогда z = k2% + ттс = k3r., где k3 — любое целое число; обозначая еще (для симметрии) п = ku получим X = R1Ky где kx— любое целое число. Итак, если аф—1, то х = k^, у Z=Zk2Xy z = k3Tz, где ku k2t k3 — любые целые числа.
§ 3. Решение тригонометрических неравенств
1. ^тс, 2?тс + arcsin ^ 5g~~1 ^ , (^2kTz + те -— arcsin ^5^" 1 , 2k% + тс + arcsin f
(2kn + 2тс — arcsin ^2"1 , 2?тс + 2тс). 2. (?тс + г. — arctg 2, ?тс + тс].
(2*« + ?. 4. [2ft*. 2ft«+ J)1 2**+?-).
Ответы. § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
719
(*«+?.*-+?. 6. (2*.+ ?.««+?). (2*«+*2*« + $.(2*г. + -?,
2,,+ ?. (2*« + ?.. 2,, + ?. 7. (*, + ?, ft* + |), '(*« + |-
4/3-5 . , «\ / . тс . , тс . 4/3 —5\ ' ^^ + "2/' \ ~*"2"' ~*~~2 + arccos -23--J'
¦arccos
23
(*«+-?, *я + -^-). H6P386hct801 выполняется при всех л:, кроме
л- =z * « (* — любое целое число); при х = ^ * тс имеем sin X + cos л: = /Z 9. Если я>0, то (2arctg J- + 2*«, 2« + 2*«). Если а < О, то (2*«, 2*« + 2тс + + 2 arc tg 1). 10. [2/етс, 2*« +J) , (2*« + J, 2*« + ^-) , (2*« + -~ , 2*« + Щ, (2*« + —, 2*« + 2«]. 11. (2*«, 2*« + j), (2*« + «, 2*« + 2«), (2*« + 3«,
2/%тс + • 12e + arcsin |/"-|-» ^ + ту), (*« + «—aresin j/^y, *« + «). 13. (2*« —2arccos ^13^1 , 2*«+ J-), (2*« + тс, 2*« + -^), ^2Лте-f-2те — - 2 arccos ^1^""1, 2*«+ 2«). 14. (2*« + J, 2*« + J), (2*« + , 2*« + 15. Решений нет. 16. (2*« + J, 2*«+-^-), (2*« + тс, 2*« + ^), (2*« + 4j, 2*« + 2«). 17. (*тс +J, *« +j), (**+J, *«+^j). 18. (*«,*tc + J), (*« + arccos |/"у , *« + J j , (*« + у , *« + j) > (b: + , Ь: + ~) , (*« + 2 тс—
-arccos |/"I,АТС + ^). 19. (2*« + J ,2*«+ J),(2*« + 2*« + тс),(2*« + ^ ,
о», . Зк\ (пи , ^ OA , о \ on /2^ 2*« і M /2*« « 2/гтс tc \ 2^ + -^),(2*« + ^ 2*« + 2«). 20. (-у-, — + _),(_ + -, ~ + Т),
/2*« . 5тс 2/гтс , тс \ /2*« , Зтс 2*« , 2« \ _f „
\~3~ +12 * ~3~ + 2"j' \~~3~~ + T' "X" + "3")' ' НеРавенство выполнено при всех хфкъ±~. 22. J2*«, 2*« + j), [2*« + тс, 2*« + ^j). 23. (2*«,2*« + JL), (2*« + ?, 2/,tc+ j), (2*» + ?/««+?). 24. (2*«, 2*« + -^), (2*« + ?, 2*« + ?,^*« + ?^^
(2*« + ^ , 2*с + *?), (2*« + ^, 2*« + ^ ) , (2*« + f, 2*«) , (2*« + f,
2*. + ?, (2^+^,2*«+?-), (2^ + ^,2*«+?), (2*« + ?!, си : 45л\ /0, , 47* 0. , 49* \ , 5Ь 0. , 53* \ /0, . 55«
2ft* + ^). 25. (2ft* + ? , 2ft* + , (2ft* + , 2ft* + J), (2ft* + ^ , 2ft* + 4^), (2ft*+^. 2ft* + ^), (2*. + 4?. 2*.+ ?.
(2ft« + , 2ft* + if), (2ft* + ^ , 2ft* + . 26. (2ft*. 2ft* + §),
720
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
(»¦¦«-¦?.»¦+?)• (».+?.».+?).
27.(2^,2^ + 1), (2^+J , 2,. + ^), (2,. + ., 2,тс + ^),
(2,.+2,. +J). 28. (2,тс + |, 2,.+ j), (2,. + ~, 2,. + L),
(^ + *L , 2,. + , (2,. + ? , 2,. + ,) , (2,. + ^L , 2,. + ^ ) , (2,. + i? , 2,. + ~) , (2,. + ~ , 2,. + ^) , (2,. + i~, 2,. + 2.) . 29. (2,* + L , 2,. + .), (2,.+ ?!, 2,. + 2.). 30. (^8^3-1, 1^34-1), , = 0,1,2,...
31. (,., ,rc + JL) , (,. + J , ,rc + ^) , (,. + ^ , + .). 32. (2,7c, 2,. + L) , '(2,tc + -L , 2,tc + ^L) , (2,. + ^L ? 2,tc + i^L) , (2,r. + JJjL, 2,. + тс). 40. Если я <-J , неравенство выполняется при всех х. Если -J- < а < 1, то л: заключен
tc Ctn
в одном из следующих интервалов: ,тс < х < ,тс + -~- , (2, + 1) —--~- < х <
<(2, + 1)~, (2, + I)-<х<(2, + 1)~ + ^, (, + l);c--J> <*<(, + 1)тс, где Gt0 = arcsin Y2 (1—а), , — произвольное целое число; если а > 1, неравенство не имеет решений. 41. Если |а|<1, тогда , — 1 + — <x<k-\-—; если
TC TC
-^- < I а I < 1» то , + -^<л:<, + 1 + -~, где а0 = arctg (tg3 тса), , — произвольное
целое число. 42. -JJ- < х < ~. 43. Либо , + -?-<-*:<,+ -J-, либо
12 11
,+-2<a-<-7j-+,. 44. X > 1 и ^ _u і < * < ~2k ' ГДЄ ^ — произвольное целое
4, + 1 4,4-2 л^ /тс , OL тс , 0^ \
число, не равное нулю. 45.--— < х < — 4^ _|_ }' * • \ 3" ' 2 J '
(2,Tt^-J, 2,.-L), (2,. + ^1, 2,тс + тс), (2,тс + ., 2,. + -4L).
