Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
г) arc ctg (—2) — тс, д) arc ctg—— , • e) arc ctg -^=-. 20. a) arc cos
2/2 /5 ' 15
. 4/6-/5 ч 1-8/3 ч . 3-4/15 ,тс 1
б) arc sin ——j^--1 B) arc cos---»r) arc sin-26-' ~4 ' ' ^ T
1 3 4 —/7 — 6/2
ж) arc ctg-jy-, 3) arctg-yy-. 21. a) arc cos---
. 1 -4/2-2 Уз^/Т ч 2(/21-/5) гч nrr,,n /7-3
б) arc.sin-------rr---, в) arc cos —--, г) arc sin-
15/2 15 f 4/2
22. a) arc cos -i-j, 6) arc cos ~ , в) arc ctg ~^ , в) arc ctg ^--^
7 12 95 3
23. а) тс + arc cos — , б) arc ctg —• — тс, в) arc ctg — -f тс, 24. а) -— arc cos ——
б) ---arccos j/~~ , в) — arc tg /13~-3 . 25. a) arc cos 1+^7
4
6)afccos^,B)arctg>^i. 28. |. 30. JL. 41. у^^
Ответы. § L ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
71!
42.-??^. 48.2/J(T^ 44.,-,+ 1. 45. +21^Zf? ¦
1-2*2 _ 1/2(1+/1-,2)
46. (2х-1)/"І+ї. 47. 4,з_3,. 48. 8,<-8,' + 1. 49. ^X'!+У •
50. JL^—^L, 51, 3, — 4,3. 52. тс, если , > 0; 4 arc sin,, если , < 0.
Т' 3 2тс "у 3
53. 2arc cosjc-f ~, если —^-<л:<1, и если — 1<х<
, ^'13TW- 55< АТ+Г Т/2 + ,г-2уг+^
u| ^ 2 Г 2 .j:
57.
I/ /1+*' + *. . 58. о. 59. 2^1-*' . 60. xY&=? + a-x)YT=I?.
Y У\+Х2__х 2х2-\ ^
61#---. 62. ---. 63. —-. 64. — . 98. Пусть k —- наибольшее
Yl~x2 X 1-х2 а
целое число, меньшее чем ху т. е. k < X < k +1. Тогда х = ? ~f- <х, где 0 < а < 1.
2jc—1 1 + / 2х—1 \ 2(*+а)—1 1 # / 2(Л + а)—1 \ Имеем —2--- arctg(^tg —^—= 2--^afctg(^ 2 -*7
= ^-fa — у —arctg ?tg ^атс — ^J. Так как 0 < а < 1, то 0 < атс < тс; значит,
— ^j- < атс — < > ПОЭТОМу arc tg ?tg ^остс — = атс — , и МЫ НЭХОДИМ
2л:—1 1 + Л 2х—\ \ . . 1 1 / тс \ 1 1
_---„arctg^tg-^TCj = A + a^2-V^-2j = ^+a^T~A + 7 =
= a = w.
Глава XXIX. Тригонометрические и трансцендентные уравнения
и неравенства
§ 1. Тригонометрические уравнения с одним неизвестным 1. ~. 2. 2?тс ±j± arc cos-^. 3. 180° k - 17°30' -1 aresin ,
90° (2A + 1) - 17е 30' + !arc sin . 4. ?тс ± J , (2? + 1) |. 5. (26 + I)J.
6. kn-j, ^ + aretgo. 7. (2fc+l)J, (2k + l)~, (2*+ I)-JL.
1 i/""g__2
8. Ы ± -g- arc cos-2-• 9. Эта очень трудная задача была предложена поступающим на механико-математический факультет МГУ и решалась многими следующим образом. Перепишем данное уравнение так: tgi^tgx) ~ tg^-j- — я ctgx^j. Для того чтобы тангенсы двух аргументов были бы равны, необходимо (но не ДОСТаТОЧНО, СМ. НИЖЄ), ЧТОбы ВЫПОЛНЯЛОСЬ равеНСТВО ntgx = ~—тс ctgjc~f-&тс,
где k — любое целое число. Последнее уравнение после упрощений принимает вид
1 4
tg^r+ctg.*: = ^ + &, откуда sin 2х = ^ ^ . Так как |sin2^|<l, то
4 I
^ 2k j < 1, и так как k — целое число, то оно может быть любым целым числом,
кроме 0, 1, —-1,--2. Из соотношения sin2x= находим 2лг = 2тс/г +
4 4
+ arc sin у^-^ , 2х = 2ш + тс — arc sin YJ~2k и окончательно имеем: лг = /гтс +
.1.4 , ^ 1 4
-j- -g- arc sin j _j_2? , ^ = тел -f- — 2" arc sin ^ ^¦- > гДе ^ — любое число, кроме 0, 1, —1 и —2, а « — любое целое число. Это решение ошибочно. Однако вскрыть
712 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
в таком решении погрешность не легко! Дефект решения заключается в следующем: соотношение
«tg X = j — тс ctg х + Ы (1)
есть следствие соотношения
tg (тс tg X) = tg ^ — тс ctg х); (2)
иначе говоря, каждый корень уравнения (2) есть вместе с тем и корень уравнения (1); обратное же утверждение с логической точки зрения недопустимо, а именно: мы не можем утверждать, что если выполнено соотношение (1), то будет выполнено и соотношение (2); иначе говоря, если аргументы равны, то нельзя утверждать,
что будут равны их тангенсы. Например, равенство = ~ верное, но равенство
X TC А TC / TC
tg — = tg у не имеет смысла I как говорят: tg ¦g- не определен, или не существует,
или выражение tg лишено смысла^. Таким образом, если уравнению (1) удовле-
2k 4-1
творяет значение tgx = —~—, где k — целое число, то уравнения (1) и (2) не
эквивалентны, ибо при tg х = функция tg(Trtgx) теряет смысл. Точно
так же, если уравнению (1) удовлетворяет значение ctgx, найденное из уравнения у — тс ctg X = (2k -f 1) -g- или ctg X = k, где k — целое число, то опять это значение ctg л- не удовлетворяет уравнению (2), так как tg^y-f-^Ttj не определен. Итак, мы должны исследовать вопрос о наличии у уравнения (1) корней вида tgX = ^ 2 1 і где k — целое число. Прежде всего заметим, что если tgx = 0, то ctgx не определен, а если ctg х = 0, то tgx не определен; потому уравнение (1), или tg X = ~ — ctg X + k, эквивалентно следующему: tg х = -g- — —¦^- -f k или
tg2 X — + tg X + 1 = 0 (этому уравнению tg х = 0 не удовлетворяет), от
