Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Доказательство тригонометрических неравенств
17. sin X = 2 tg -~ cos2 ~ = 2 tg ~ (i sin2 _?.). е-сли o<x<-L, то | <tgL,
XX X ( X2 \ JC3 X
-g- > sin у , поэтому sin X > 2 (1--J = х--. 18. Имеем: sin х = 3 sin —
JC JC JC X X X X X
— 4 sin3-^- , sin-g- = 3 sin-Tj2-— 4 sin3 Tj2-, SIn-Tj2- = 3 sin ^ — 4 sin3 -gg-, sin 7^37 =
JC JC
= 3 sin -TjTf — 4 sin3 -grr . Умножая второе из этих равенств на 3, третье — на З2 и т. д., последнее — на Зп~1 и складывая, будем иметь
5іпх = 3^іп^-«4(5іп3у+38іп3^-+ ..; +3*-'sm3JL).
X X JC3
На основании предыдущего (задача 17) sin > — ^ ^n-; кроме того,
sinT<?' sInJr< ^»••-» sin^ <^гС> поэтому sin X > 3n (JL — 4Хззп ) —
— 4(-^ + 3-^-+32-^+ ... +3"-1^) = X-— ^-(1 + ^2 + з?+ •••
Ответы. § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ 721
4jc3 1 32П х3 л:3 Л 1 \
J_\ л-3 4л;3 32/г _ л:3 л3 Л___1_\
т~2)~х 4.32/z 27 1 ~~Х 4-32* 6 V 32П)~~"
33/1-2 у —" 4.32/z 27 _ 1 4-З2* 6 V З2"/ 6
л:3 л:3 л*3 л тс л:;
= л* — -75--10 ооп . Итак, если 0 < х < -^-, то sin л: > х — —
6-32/г 4-32/ї 6 12.32л 2 ' 6
л? X X
— 12 з2/^ ' или smx —х + "F^--12 32/z ' отсюда следует, что число, стоящее
д-З
слева, не может быть отрицательным, так как справа стоит число — ^ 32/z >
которое при 0 < л: < ~ отрицательно и при достаточно большом п может быть
л:3
сколь угодно малым по абсолютной величине; значит, sin л: — x-^-jr-^O, откуда
л*3 TC
sin X > X--g-. 19. Если 0 < х < , то по доказанному в задаче 18 имеем:
д-З * д1 д- д^З ^ д- д-З
SiUX^x--g- > 0, sin ~2> 2 ~~ qTs > °' sin T ^T —" бЛЙ > °* отсюда
Sin2 f > TF ~ 2-6-64 + 62 *642 ; ЗНаЧИТ' Sln21 > TF "~ 3?5"; ДаЛЄЄ> находим:
л: „л: л (X х3\/х2 хА \ . . х . 9 х х3 х6 0 . х 4*0-2 sin 4 >4Ы _48)ll6-3^)' 4«n-2-sin»T>-5-—2у или 2 ип ^ -
~sin -*>1Г —2У'
?С лг3 лг^
sin л- < 2 sin-^- — -g--f (1)
Аналогично имеем:
X л л*
sin у < 2 sin т - 23Т8 + ЭТТ ' (2)
sin ~ < 2 sin |- - + ¦—^g7-, (3)
X п . X Xі . хь . ч
sin —г < 2 sin •7T----——-----——--. (п)
2п~1 2п 26^п~1)>8 25(п~1)-27
Умножая обе части неравенства (2) на 2, обе части неравенства (3) на 22 и так далее, наконец, обе части последнего неравенства на 2п~1 и складывая, получим
оп . X хЧл , 1 . 1 . . 2 \ , хъ(л , 1 . 1 , , 1 \ *п*<2 я S1n^-у ^1 + ^- + ^+... +^J+ -|1 + ? + ^ + ...
1__L
т л я o/i • ¦* • jc3 2* , л:5 24л Так как при О < х < тт , 2Л sin < л:, то sin х < л: — -^--=--f-
2 , - — 2,г - - ^ ^ 8 ' 27__
1 4 16
__л^ /__П __1_\ л:3 ;г5 хз
Х 6 1 2п 120 \ 24^J"* 6+120^6-2"
л:!
120 • 24Л '
д-З д-5
Число sin *— xJr~§---[20 иРи ® < Х < ~2 нє может ^ыть положительным»
д^З
так как оно меньше числа ^ , которое при 0 < х < -^- положительно и при достаточно большом п может быть сколь угодно малым положительным числом;
д-З д-5 д-З д-5
значит, sin л: — л: + ^ <0, откуда sin х < х — -g- + 20. Если 0 < х < ,
л* тс о n>i тс 2 л: 2
то "5" < то » но < 24; следовательно, < —, поэтому ~тг < — и т. д. о IZ Vl тс о тс
46 П. С. Моденов
722 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXIX. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
21. COSJC=I-2sin2~> 1 — 2-^=1 — -^. 23. cos х = 1 — 2 sin2 -~,
2 " 2 "2^4 (СМ- задачУ 17>' П0ЭТ0МУ cos лг < 1 — 2^ — —4J = 1 — ^ +
л: л: sin -х- >
+ ~J?--—32 <^--2~ "Ж" Воспользоваться неравенством sin л: > л: — ~
10ч n- . sin л: 6 . Л л:2 . х4\ / , л:3\
(см. задачу 18). 25. tg * = > _г—,; так как (l+ ^ + =
2+24
= х — -g- — g- < л: — ~g , то---ZJ- > х + • 27. а) Приближение sin
1 — "2 + 24
с недостатком; ошибка не превосходит -g-; б) приближение cos х 1 с избытком;
JC2 Jt3
ошибка не превосходит -^-; в) приближение sinXX--g- с избытком; ошибка
не превосходит ; г) приближение cos X ^ 1 — ~ с недостатком; ошибка не
ХА
превосходит -gj. 32. С точностью до 0,000001.
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком аркфункций
1. 0. 2. 0. 3.1. 4. Нет корней. 5. Нет корней. 6. Нет корней. 7. 0. 8. Нет корней. 9. ± |/'У^~1 . 10.0. И. ± 1, 0. 12. 0, ± 1. 13. 1. 14. 0, ±~. 15.1.
16. — 1 ±У"2- 17. x = k7i+ 7L. 18. 4-- 19.-tL. 20.0. 21. 22. 1. 23. 4=-
_ ^ 3 / 5
24. Если 0<а<2, то х = ± ]/~|. 25. 2. 26. = sin * + ^ ~ 16fl* ,
Л + у„2_ іеа2 те і /~у 5— 1
Je2 = cos ^ -, если IaKj. 27.0,±2~. 28. у ~—g—•
29. !^/"^(5—-2 Y 2). 30. 31. tg^-, где и — принимает всецелые значения,
по абсолютной величине меньшие, чем 32. а) Если а>0, 6>0, но, по крайней
